Cálculo de vetores

Entenda o que são vetores, quais os seus tipos e conceitos de cálculo dos mesmos. Saiba como realizar esse cálculo e mais.


Chamamos de vetor o conjunto infinito de segmentos orientados equipolentes a AB, conforme a imagem abaixo. Isso significa que vetor é o conjunto infinito de todos os segmentos orientados que tem o mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido de AB.

Cálculo de vetores

Imagem: Reprodução/ internet

AB é caracterizado por três aspectos: comprimento, que chamamos de módulo, direção, e sentido, que nesse caso é de A para B.

A ideia de vetor, portanto, nos traz à representações como a seguinte:

Vetores

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Apesar de vetor representar o conjunto de segmentos de mesmo comprimento, direção e sentido, na prática usamos apenas um dos segmentos orientados como representação. Por exemplo, quando temos “u” como um vetor genérico, representamos da seguinte maneira:

Tipos de vetores

Os vetores apresentam-se em três tipos principais e fundamentais, que são o vetor livre, o vetor deslizante e o vetor ligado.

O vetor livre é aquele que fica caracterizado completamente, de forma que conhecemos seu módulo, direção e sentido, como os vetores mencionados acima.

O vetor deslizante, por sua vez, é aquele que, para que seja totalmente caracterizado, precisamos conhecer a reta suporte que o contém, além da direção, modulo e sentido. São também conhecidos como cursores.

Vetores

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Vetor ligado, por fim, é aquele que, além de conhecermos a direção, módulo e sentido, para ficar completamente caracterizado, precisamos conhecer o ponto em que sua origem está localizada. Também é conhecido como vetor de posição.

Vetores

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Cálculo vetorial

Chamamos de cálculo vetorial a área da matemática que está diretamente relacionada à análise real multivariável de vetores em duas ou mais dimensões. Trata-se de um conjunto de fórmulas e técnicas que podem ser usadas para a resolução de problemas, o que é muito útil quando aplicado à engenharia e à física.

  • Vetor oposto.

Quando temos o vetor , devemos levar em consideração que existe o vetor que conta com o mesmo módulo e direção, mas sentido oposto.

  • Vetor unitário ou versor

Vetor de módulo igual à unidade. |u| = u = 1.

  • Vetor nulo

O vetor nulo, por sua vez, é aquele que possui módulo igual a zero, com direção e sentido indeterminados.

Projeção do vetor sobre um eixo

Quando temos um eixo “r” em que o vetor u forma um ângulo, teremos o vetor “u”, que será componente de “u” segundo o eixo “r”, cuja medida algébrica é igual a ux= u . cosq .

Vetores

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Se q = 90°, cosq = 0, e com isso, chegaremos à projeção do vetor segundo o eixo “r”, nula.

Notação de Grassmann

O vetor “u” tem extremidade A como inicial e extremidade B como final, conforme demonstrado na imagem abaixo.

Vetores

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Segundo Grassmann, matemático alemão que viveu de 1809 à 1877, a situação pode ser interpretada como o ponto B sendo obtido do ponto A por meio de uma translação do vetor “u”. Com isso, escreve-se que B = A + u, assim como u = B – A.

Nesse pensamento, poderemos simplificar a resolução de algumas das questões de cálculo de vetores.

Vetor no plano como um par ordenado

O vetor “u”, representado no plano cartesiano Oxy deve ser considerado para essa questão, conforme imagem abaixo.

Vetores

Imagem: Reprodução/ internet

Podemos dizer, segundo a notação de Grassmann, que

P = O + u

E que u = P – O

Considerando que o ponto “O” é a origem do sistema de coordenadas cartesianas, e que “O” (0,0) e as coordenadas de “P” são “x” (abcissa) e “y” (ordenada), encontraremos o ponto “P” (x,y).

U = P – O = (x,y) – (0,0) = (x – 0, y – 0)

U = (x,y)

Dessa forma, o vetor u pode ser expresso por meio de um par ordenado, e o módulo do vetor u, pode ser dado por:

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