Identidades trigonométricas

Quando estudamos as funções trigonométricas que pertencem a um mesmo arco, devemos usar algumas relações trigonométricas fundamentais. Estas, por sua vez, acabam originando outras…


Quando estudamos as funções trigonométricas que pertencem a um mesmo arco, devemos usar algumas relações trigonométricas fundamentais. Estas, por sua vez, acabam originando outras expressões que serão importantes nos casos que envolvem as funções de um mesmo arco.

Fundamentais

Identidades trigonométricas

Originadas

As originadas são:

Identidades trigonométricas

 

O que são?

Chamamos pelo nome de identidades trigonométricas as equações que envolve funções trigonométricas, desde que sejam verdadeiras para todos os valores das variáveis envolvidas. São utilizadas para simplificar expressões envolvendo funções trigonométricas.

Estas configuram-se como igualdades de funções trigonométricas, desde que ambos os lados da igualdade sejam válidos no domínio das funções que são envolvidas.

Um exemplo de identidade trigonométrica são as relações trigonométricas e as relações derivadas.

Como resolver?

Normalmente, as identidades trigonométricas são resolvidas por meio da demonstração e das relações trigonométricas conhecidas.

Ao desenvolvermos dois lados da equação trigonométrica, podemos realizar essa demonstração chegando a um mesmo valor nos dois lados. Outra forma é trabalhar somente um lado chegando ao que indica o outro lado da igualdade.

Ficou um pouco confuso? Confira um exemplo abaixo para entender melhor.

Tg² (x) . (cos (x) – sen (x)) = sen (x) . (tg(x) – tg² (x))

A primeira expressão, tg² (x) . (cos (x) – sen (x)), será chamada de f(x), enquanto a segunda sen (x) . (tg (x) – tg² (x)) será chamada de g(x).

f(x) = tg² (x) . (cos (x) – sen (x))

f(x) = tg² (x). cos (x) – tg² (x). sen (x)

A partir disso, podemos substituir a tg² (x) pelo quociente sem² (x) : cos² (x), conforme demonstrado abaixo.

Identidades trigonométricas

Com a simplificação, chegamos:

Identidades trigonométricas

Chegamos, finalmente, à: f(x) = sen (x) . tg (x) – tg² (x) . sen (x) que, quando colocado o termo sen (x) em evidência, fica: f(x) = sen (x) . (tg(x) – tg² (x))

Aí, finalmente, chegamos ao que dissemos no início. g(x) = sen (x) . (tg(x) – tg² (x)) e, portanto, podemos concluir que f(x) = g(x).

Com isso, chegamos à conclusão de que a identidade, neste caso, é verdadeira.


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