Polinômios

O polinômio é uma expressão algébrica formada por monômios, que possuem coeficiente (número) e parte literal (letras), as operações como: adição, subtração, multiplicação e…


O polinômio é uma expressão algébrica formada por monômios, que possuem coeficiente (número) e parte literal (letras), as operações como: adição, subtração, multiplicação e divisão; estão entre os monômios. Um polinômio pode apresentar ainda raiz, fração e potenciação.

Polinômios

Foto: Reprodução/ internet

Entenda nos exemplos abaixo:

  • – 5xy é um monômio que pode ser considerado um polinômio, em que – 5 é o coeficiente e xy é a parte literal.
  • – 5x + 3 é uma expressão algébrica polinomial, em que – 5 e + 3 são os coeficiente e x é a variável e parte literal.

Um polinômio pode conter somente um monômio ou uma infinidade de monômios, veja a representação da fórmula geral para a expressão polinomial.

an xn+a(n-1) x(n-1)+…+a2 x2+a1 x+a0

Grau de um polinômio

Determinamos o grau do polinômio pelo expoente máximo que ele possui em relação a variável. Acompanhe os exemplos:

2x2 + x
2x2: Coeficiente 2, Variável x, Grau 2
x: Coeficiente 1, Variável x, Grau 1
Expoente Maximo do polinômio: 2
Grau:
Polinômio de 2° grau

y3 – 2y2
y3: Coeficiente 1, Variável y, Grau 3
2y2: Coeficiente 2, Variável y, grau 2
Expoente Maximo do polinômio: 3
Grau:
Polinômio de 3° grau

O valor numérico de um polinômio

Calculamos o valor numérico de um polinômio substituindo a variável por um número. Considere o polinômio x³ + 2x² + x – 4, faça a substituição do valor de x por 2.

x³ + 2x² + x – 4 =
= (2³) + 2 . (2²) + 2 – 4 =
= (2 . 2 . 2) + 2 . (2 . 2) + 2 – 4 =
= 8 + 2. (4) + 2 – 4 =
= 8 + 8 + 2 – 4 =
= 16 + 2 – 4 =
= + 18 – 4 =
= + 14

Ao substituirmos x por 2, obtivemos + 14 como valor numérico da expressão polinomial x³ + 2x² + x – 4.

Polinômios iguais

Dois polinômios podem ser denominados iguais ou idênticos, quando assumem os mesmos valores numéricos para os coeficientes correspondentes. Veja a seguir um exemplo:

Exemplo: Determine os coeficientes do polinômio ay² + by + c , para que ele seja igual ao polinômio y² + 3y + 1.

ay² + by + c = y² + 3y + 1

Para que os polinômios sejam iguais, seus coeficientes devem ser idênticos, sendo assim, os coeficientes do polinômio ay² + by + c, são:

a = 1
b = 3
c = 1

Agora é possível verificar a igualdade entre os dois polinômios

1y² + 3y + 1 = 1y² + 3y + 1

Divisão de Polinômios

Para dividirmos polinômios utilizamos o algoritmo da divisão, o mesmo está representado a seguir:

P(x) | D(x)
R(x) Q(x)

P(x) é o dividendo.
D(x) é o divisor.
Q(x) é o quociente.
R(x) é o resto da divisão.

Do algoritmo da divisão, obtemos a relação:

Dividendo = Divisor . Quociente + Resto
P(x) = D(x) . Q(x) + R(x)

Quando R(x) = 0, dizemos que a divisão é exata, ou seja, P(x) é divisível por D(x) ou D(x) é divisor de P(x). Para compreender melhor a divisão de polinômios, observe o exemplo a seguir:

Exemplo: Efetue a divisão de P(x) = 4x2 – 2x + 3 por D(x) = 2x – 1

4x² – 2x |2x – 1
– 4x² + 2x    2x

0

Logo: P(x) = D(x) . Q(x) + R(x)
4x² – 2x = (2x – 1) . 2x + 0

*Revisado por Naysa Oliveira, graduada em matemática


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