Polinômios

Polinômios são expressões algébricas compostas por coeficientes (números) e parte literal (letras que são valores desconhecimentos). Para uma expressão ser considerada polinômio, além de possuir letras e números precisa possuir mais do que um monômio.

Veja a seguir como determinar a nomenclatura de acordo com a quantidade de termos:

a) Um monômio possui um termo. Exemplos:

b) Um binômio possui dois termos, ou seja, dois monômios que são separados pela operação de adição ou subtração. Exemplos:

c) Um trinômio possui três termos, ou seja, três monômios separados pelas operações de adição ou subtração. Exemplos:

Operações com polinômios

Para conseguir realizar operações com polinômios é importante possuir os seguintes conhecimentos:

• Redução de polinômio para um termo semelhante.
• Aplicação da regra de sinais de acordo com a operação que está sendo feita.

Redução de polinômio para um termo semelhante

Lembre-se que para reduzir polinômios em alguns casos (dependendo da operação) é preciso que as partes literais dos termos sejam compostas pelos mesmos elementos, ou seja, variáveis. Exemplos:

a) 2x + 5x

É possível reduzir esse binômio, porque ambos os termos possuem a mesma parte literal. x = x

b) 3xy + 9y

Não é possível reduzir esse binômio, pois as partes literais que compõem os termos são diferentes. xy ≠ y

c) Não é possível reduzir o polinômio, pois as partes literais que compõem os termos são diferentes. 

Regra de sinais

Quanto à regra de sinais, utilizamos respeitando a operação que está sendo efetuada. Veja a seguir um quadro-resumo da regra de sinais/jogo de sinais.

Para adição e subtração

Para multiplicação e divisão

Adição e subtração de polinômios

Para realizarmos as operações de adição e subtração de polinômios, utilizamos:

• Adição e subtração de polinômios.
• Redução de termo semelhante.
• Regra de sinal/ jogo de sinal.

Acompanhe a solução dos exemplos a seguir:

Exemplo 1:

Obtenha a redução do polinômio a seguir e evidencie o conjunto solução.

O sinal positivo entre os dois parênteses está multiplicando todos os termos do segundo parêntese. A solução desse exercício inicia-se resolvendo esse produto de sinais pelos respectivos termos que estão dentro do segundo parêntese.

Aproxime os termos semelhantes, ou seja, de mesma parte literal.

Reduza os termos semelhantes.

Exemplo 2:

Obtenha a redução do polinômio a seguir:

Aplique a regra do sinal nos sinais negativos que estão entre os parênteses. Lembre-se que o sinal multiplica o parêntese que está a sua direita.

Aproxime os termos semelhantes.

Aplique a regra do sinal.

Multiplicação de polinômios

A multiplicação de polinômio pode acontecer entre:

• Um monômio e um polinômio.
• Um número natural e um polinômio.
• Um polinômio e outro polinômio.

Para efetuarmos essa multiplicação devemos realizar:

• Redução de termo semelhante.
• Regra do sinal/ jogo do sinal.
• Regras de potenciação para a multiplicação.

Fórmula da potenciação para a multiplicação

Obs. Lembre-se que coeficiente multiplica coeficiente e pare literal multiplica parte literal.

Exemplo:

Aplique a propriedade de multiplicação de polinômios nas expressões algébricas a seguir:

A)

B)

C)

Divisão de polinômios

O que difere a divisão de polinômios da numérica é que um polinômio é uma expressão algébrica, então enquanto dividimos dois polinômios precisamos dividir o coeficiente (número) e a parte literal (variável).

A divisão de polinômio pode ser realizada de três formas:

• Método de chave.
• Método de Descartes.
• Dispositivo prático de Briot-Ruffini.

Em todos os casos a operação/ algoritmo utilizada é a divisão. A divisão é composta por:

• Dividendo: DV(x)
• Divisor: D(x)
• Quociente: Q(x)
• Resto: R(x)

O algoritmo é estabelecido pela seguinte igualdade:

Obs. DV(x) é divisível por D(X), quando o resto da divisão R(x) é zero.

Divisão de polinômio: Método de chave

Esse método utiliza o seguinte algoritmo:

Acompanhe a seguir como resolvemos uma divisão de polinômio utilizando o método de chave.

Exemplo:

Obtenha o quociente das divisões de polinômios a seguir:

Obs. Observe que todos os monômios que são de cor vermelha estão com o sinal trocado. Isso é necessário para que obtenhamos a redução do dividendo. No exemplo anterior o resto obtido foi zero, mas é importante lembrar que, quando à divisão não é exata, o resto será diferente de zero.

Divisão de polinômio: Método de Descartes

O método de divisão de polinômio de Descartes se diferencia dos demais pois para obter o resultado da divisão, ou seja, o quociente você precisará:

1. Utilizar a Identidade de Polinômios, referente a equação: DV(x) = D(x) . Q(x) + R(x).
2. Identificar o grau do polinômio do dividendo e do divisor.
3. Determinar o possível polinômio do quociente e do resto, e estimar o valor do grau desses polinômios.

Acompanhe o exemplo a seguir para entender como realizamos a divisão de polinômios por meio desse método.

Exemplo:

Utilizando o Método de Descartes resolva a divisão polinomial a seguir.

Agora que já sabemos o grau do dividendo e do divisor devemos determinar o grau do quociente e do resto.

Para obter o grau do quociente, basta fazer a diferença entre o grau do polinômio do dividendo pelo divisor, desta forma saberemos o valor referente ao grau do polinômio do quociente, ou seja:

Grau DV(x) – Grau D(x) = Grau Q(x)
3 – 1 = 2
Q(x) O polinômio referente ao quociente possui grau 2.

Como já determinamos o grau do quociente, agora precisamos determinar os termos/monômios que compõem esse polinômio. Estes monômios irão respeitar a ordem decrescente em relação ao grau da variável de cada monômio que compõem o polinômio, no caso y.

Veja a seguir o polinômio que representa o quociente neste exemplo:

Agora que obtivemos o polinômio referente ao quociente, falta determinamos o polinômio que é o resto. Para isso devemos olhar o grau do divisor. O grau do divisor é o número 1, com isso o grau do resto será um valor menor que 1.

Isso significa que essa divisão de polinômio é exata e o valor do resto é zero. Nesse sentido, não será necessário atribuir uma expressão polinomial para ao resto, visto que o mesmo é: R(x) = 0

Obs. Caso o grau do resto não fosse menor que um, o valor do resto não seria zero. Suponhamos que o grau fosse um, com isso o polinômio que representa o resto seria: (ay + b)

Caso o grau fosse dois, o polinômio seria:

e assim por diante.

Vamos agora substituir os valores encontrados na seguinte equação:

DV(x) = D(x). Q(x)+ R(x)

Faça a igualdade de polinômio:

• 2 = 2a
• –6 = 2b– 4a
• –2 = 2c– 4b
• 12= –4c

Resolva os sistemas e obtenha os valores de a, b e c.

Como obtemos os valores dos coeficientes, agora podemos determinar o polinômio referente ao quociente que será:

Divisão de polinômio: Dispositivo prático de Briot-Ruffini

O dispositivo de Briot-Ruffini é utilizado na divisão de polinômios quando o grau do divisor é 1, ou seja: ax +b

Lembre-se: a e b são coeficientes e podem assumir qualquer valor numérico ou algébrico e a incógnita x pode ser representada por outra letra.

Neste método o polinômio referente ao dividendo, chamado nesse texto de DV(x), pode possuir qualquer grau.

Exemplo:

Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini obtenha os valores referentes ao quociente e ao resto da divisão polinomial a seguir:

Inicialmente devemos obter a raiz do divisor, ou seja, vamos calcular o valor da incógnita x para a equação:

x+ 5= 0
x= –5

O número –5 é o pivô. Evidencie os coeficientes do dividendo, ou seja, DV(x) e os distribua em uma linha horizontal respeitando a ordem em que cada coeficiente aparece.

Com a distribuição dos elementos no dispositivo de Briot-Ruffine terminada, vamos agora solucionar esse exemplo:

Primeiro passo: Repita o primeiro coeficiente na próxima linha.

Segundo passo: Multiplique o valor referente ao pivô (-5) pelo valor que está na segunda linha (2), o resultado desse produto deverá ser somado ao segundo coeficiente que está na primeira linha (7). O resultado obtido deve ser colocado abaixo do número 7.

Terceiro passo: Com o resultado que acabou de ser obtido (–3), devemos repetir o processo que foi feito anteriormente, ou seja, multiplique -5 por -3, o resultado deve ser adicionado a 15. A resposta obtida deve ser colocada embaixo do coeficiente 15.

Quarto passo: O último resultado obtido deve ser isolado, porque ele é o resto.

Escreva o resultado obtido em forma de equação:

Fatoração de polinômios

Ao fatorarmos um polinômio, devemos escrevê-lo como uma multiplicação de dois ou mais polinômios. Lembre-se que fatorar significa representar uma expressão em termos de produto.

Fatoração por fator comum em evidência

Nessa fatoração você deverá identificar um termo que divida ao mesmo tempo número (coeficiente) e letra (parte literal) de todos os monômios que compõem o polinômio. Em relação à letra (parte literal), os escolhidos deverão ser aqueles de menor grau que se repetem em todos os monômios.

Exemplo:

Observamos que o número 4 divide todos os coeficientes desse polinômio, então o número 4 deve ser colocado em evidência juntamente com a letra x, isso porque x é a parte literal de menor grau (expoente).

Fatoração por agrupamento

Nessa fatoração você precisará agrupar os termos que possuem no mínimo um elemento em comum, seja número ou letra. Em seguida  você determinar qual elemento dos  termos deverá ser colocados em evidência. Acompanhe o exemplo a seguir:

Exemplo:

Obtenha a forma fatorada dos polinômios, lembre-se de utilizar o agrupamento.

a) + 3r + rx + c– 3s– sx =

O primeiro passo para obter a forma fatorada desse polinômio é agrupar os termos semelhantes. Identifique no polinômio quais são os termos semelhantes e os coloque próximos.

+ 3r + rx + c– 3s– sx =
=rx–sx + 3r– 3s=

Entre os termos que são semelhantes identifique o elemento que se repete e o coloque em evidência.

= x. (r– s) +3. (r– s)=

Veja que (r– s) se repete no polinômio, devemos colocá-lo também em evidência.

=(r– s) . (x +3)

Então:

rx– sx + 3r– 3s= (r– s) . (x +3)

Os elementos que se repetem dos termos (entenda por termo coeficiente + parte literal) geralmente são colocados em evidência, mas existem outros casos como quando identificamos um divisor comum entre os coeficientes. Nessa situação o divisor deve ser colocado em evidência.

Outra situação é quando a parte literal é a mesma, mas possui diferentes graus, você sempre colocará em evidência o termo da parte literal de menor grau.

Fatoração da diferença de dois quadrados

Este caso segue a seguinte regra geral para a fatoração do polinômio.

Isso porque:

Então:

Exemplo:

Encontre a forma fatorada do polinômio utilizando a diferença de dois quadrados.

Prova Real:

Obs. Elevamos o número um ao quadrado para respeitarmos a estrutura da fórmula geral.

Fatoração do trinômio quadrado perfeito

Nesse caso de fatoração, existem dois processos que podem ocorrer, são eles:

Esse caso de fatoração é chamado de trinômio, pois cada polinômios possui três monômios. Já o quadrado perfeito faz referência aos termos que estão entre parênteses elevados ao quadrado. Acompanhe o exemplo a seguir:

Exemplo:

Obtenha a fatoração dos polinômios a seguir utilizando o trinômio quadrado perfeito.

Fatoração da soma ou da diferença de dois cubos

Esse caso de fatoração é dado por dois polinômios:

Acompanhe o exemplo logo a seguir.

Exemplo:

Resolva os polinômios encontrando a sua forma fatorada por meio da soma ou diferença de dois cubos.

Equações Polinomiais

Equações polinomiais são expressões algébricas de grau maior ou igual a um, que possui a seguinte notação geral:

Por ser uma equação, então o polinômio é igual à zero, ou seja:

Toda a equação polinomial possui raiz. O conjunto de todas as raízes de uma equação polinomial é chamado de conjunto solução. A quantidade de raízes é determinada pelo grau do polinômio. Além disso, polinômios podem ser escritos na forma fatorada, ou seja:

Exemplo:

Encontre as raízes do polinômio a seguir e obtenha a resposta final na forma fatorada.

Inicialmente você deve igualar a equação a zero, P(x)= 0

Para resolver uma equação do segundo grau devemos aplicar a fórmula de Bhaskara. Precisamos nomear os coeficientes: a= 2, b= 1, c= – 1

Utilizando a notação geral de P(x), vamos escrever o polinômio desse exemplo na forma fatorada.

Função polinomial

A expressão geral da função polinomial é dada por:

Onde: (a) é o coeficiente.
(x) é a variável.
(n) é o grau ou o índice

O tipo da função polinomial é determinado pelo grau do polinômio. Veremos a função polinomial de primeiro grau e a de segundo grau. Nos exemplos a seguir será mostrado como solucionar cada uma das funções mencionadas.

Função polinomial do 1º grau

Será considerada uma função polinomial do primeiro grau quando o grau do polinômio for um. A fórmula geral para esta função é a seguinte: f(x)= ax+ b

Nesse tipo de função o gráfico sempre será uma reta.

Exemplo:

Obtenha a solução da função e esboce o gráfico.

f(x)= 2x + 6
ax= 2x
b= 6

Por ser uma função do primeiro grau possuí somente uma raiz. Para ser a raiz da função ou zero da função, a reta referente ao gráfico deve interceptar o eixo das abscissas. Para encontrarmos o valor da raiz dessa função devemos considerar f(x)=0

Como o sinal do termo (ax) é positivo temos que o gráfico é uma reta crescente. Para entendermos melhor o comportamento dessa reta vamos atribuir valor para o x/domínio e descobrirmos valor de f(x)/imagem.

Função polinomial do 2º grau

Em uma função polinomial desse tipo, o maior grau que a função assume é o quadrado, ou seja, 2. Uma função do segundo grau possui somente duas raízes, o que quer dizer que o gráfico toca o eixo da abscissa somente em dois pontos.

O gráfico da função polinomial é representado por uma parábola, que pode ter a concavidade para cima ou para baixo. A direção da concavidade da parábola é determinada pelo sinal do coeficiente (a), ou seja, quando o sinal é positivo a parábola é para cima, mas quando o sinal é negativo a parábola é para baixo. A fórmula geral para a função polinomial do segundo grau é a seguinte:

Exemplo:

Obtenha o gráfico da função polinomial do segundo grau.

Primeiramente iremos calcular as raízes dessa função para isso considere f(x)= 0

Para solucionar essa função poderíamos utilizar a fórmula de Bhaskara, mas existe uma outra forma mais simples, que é colocando o x em evidência, acompanhe:

x. ( x + 2)= 0

Obtemos como resultado a forma fatorada da equação, então podemos considerar cada fator igual a zero, sendo assim:

x= 0
x + 2= 0
x = -2. (-1)
x = 2

As raízes dessa função do segundo grau são:

x’= 0
x’’= 2

Os pares ordenados dessas raízes são:

(0, 0) e (2, 0)

Como o coeficiente (a) dessa função é negativo, então a concavidade da parábola é para baixo. Gráfico está a seguir.

Caro estudante espero que esse texto tenha contribuído para a sua aprendizagem. Bons estudos e até a próxima!