Progressões

Chamamos de progressões aritméticas, ou progressões geométricas a sucessão de números reais que é obtida com uma determinada lei de formação, ou seja, pode-se…


Chamamos de progressões aritméticas, ou progressões geométricas a sucessão de números reais que é obtida com uma determinada lei de formação, ou seja, pode-se obter um termo qualquer dessa sequência por meio de uma expressão que relaciona o termo com sua posição.

Progressões

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Progressões aritméticas

Nas progressões aritméticas, temos uma sequência que é determinada de forma que, a partir do segundo termo, é adicionada uma constante k ao termo antecessor. Essa é conhecida como razão da progressão aritmética que permite que seja encontrado o termo sucessor.

Por exemplo, podemos citar os números naturais (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), cuja razão é igual a 1, e os números pares (2, 4, 6, 8, 10, 12), cuja razão é igual a dois.

Progressões geométricas

A progressão geométrica é uma sequência que é determinada de forma que para encontrar o segundo termo, deve-se multiplicar o termo anterior por uma constante k, razão dessa progressão. Dessa forma, do segundo termo em diante, é possível encontrar os termos sucessores da progressão.

Por exemplo, a sequência (5, 15, 45, 135), onde a ração é 3 e o primeiro termo é 5, e a sequência (2, 10, 50, 250), onde a razão é 5 e o primeiro termo é 2.

O cálculo da razão de uma progressão

A razão de uma progressão pode ser calculada, caso não seja evidente, pela divisão de dois termos consecutivos. Por exemplo, quando temos a sucessão de números (1, 2, 4, 8, 16,…), podemos dividir o 16 por 8, o 8 pelo 4, o 4 pelo 2 e o 2 pelo 1 sempre chegando ao mesmo resultado q = 2, que será, portanto, a razão da progressão geométrica.

O cálculo do termo geral

A progressão geométrica que possui uma razão q, tem seus termos obtidos a partir do primeiro. Por definição, isso se dá da forma como demonstrado na tabela abaixo.

a1 a2 a3 a4 a20 an
a1 a1.q a1.q² a1.q³ a1.q20 a1.qn-1

Seguindo a explicação dada pela tabela, podemos chegar à conclusão de que a expressão do termo geral pode ser encontrada, para qualquer progressão geométrica pode ser dada por:

O cálculo do termo geral

A soma dos n primeiros termos de uma P.G.

Quando temos a progressão geométrica (a1, a2, a3, a4, …, an, …), podemos realizar a soma dos n primeiros números, que será representado por Sn.

Dessa forma, temos que Sn= a1 + a2 + a3 + a4 + … + an-1 + an

Em seguida, devemos multiplicar os membros pela razão q.

Sn.q= a1.q + a2 .q + a3 .q + a4 .q + … .q + an-1 .q + a.q

Expressão que pode ser reescrita, conforme a definição de P.G., da seguinte maneira:

Sn . q = a2 + a3 + … +  an

Podemos notar que a2 + a3 + … + an é igual a Sn – a1, e a partir disso, substituímos:

Sn . q = Sn – a1 + an . q que simplificado ficaSoma

A fórmula, considerando que an=a1 .qn-1, ficará Soma


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