Sistemas lineares

Antes de entendermos o conceito de sistemas lineares, precisamos entender as equações lineares. Equação linear Uma equação linear é aquela que possui variáveis e…


Antes de entendermos o conceito de sistemas lineares, precisamos entender as equações lineares.

Equação linear

Uma equação linear é aquela que possui variáveis e se apresenta da seguinte maneira:

A1x1 + a2x2 + a3x3 +… anxn = b

Sendo que a1, a2, a3, …, são coeficientes reais e b é o termo independente.

Confira abaixo alguns exemplos de equações lineares:

x + y + z = 15

2x – 3y + 5z = 2

X – 4y – z = 0

4x + 5y – 10z = -3

Sistema linear

Tendo esse conceito em mente, agora podemos partir para a segunda parte: os sistemas lineares.

Quando falamos em sistemas lineares, estamos falando de um conjunto p de equações lineares com variáveis x1, x2, x3, …, xn que formam esse sistema.

Sistemas lineares

Foto: Reprodução

Por exemplo:

X + y = 3

X – y = 1

Este é um sistema linear com duas equações e duas variáveis.

2x + 5y – 6z = 24

X – y + 10z = 30

Este, por sua vez, é um sistema linear com duas equações e três variáveis:

X + 10 y – 12 z = 120

4x – 2y – 20z = 60

-x + y + 5z = 10

E o sistema linear com três equações e três variáveis.

X – y – z + w = 10

2x + 3y + 5z – 2w = 21

4x – 2y – z + w = 16

Neste caso, por fim, temos um sistema linear com três equações e quatro variáveis.

Como solucionar?

Mas como devemos resolver um sistema linear? Confira o exemplo abaixo para melhor entendimento:

X + y = 5

X – y = 1

Neste caso, a solução do sistema linear é o par ordenado (3, 2), pois consegue solucionar as duas equações. Confira:

X= 3 y = 2

3 + 2 = 5

3 – 2 = 1

Classificação dos sistemas lineares

Os sistemas lineares são classificados de acordo com a quantidade de soluções que apresenta. Com isso, podem ser classificados como:

  • Sistema Possível e Determinado, ou SPD: quando possui apenas uma solução;
  • Sistema Possível e Indeterminado, ou SPI: quando possui infinitas soluções;
  • Sistema Impossível, ou SI: quando não possui solução.

Regra de Cramer

Um sistema linear com n x n incógnitas pode ser resolvido com a regra de Cramer, desde que o determinante seja diferente de 0.

Quando temos o seguinte sistema:

Sistemas lineares

Neste caso, ae a2 se relacionam com a incógnita x, e be  b2 se relacionam com a incógnita y.

A partir disso, podemos elaborar a matriz incompleta:

Sistemas lineares

Ao substituirmos os coeficientes de x e y que o compõe pelos termos independentes c1 e cpodemos encontrar os determinantes Dx e Dy. Com isso será possível aplicar a regra de Cramer.

Sistemas lineares

Por exemplo:

Quando temos o sistema a seguir

Sistemas lineares

Podemos tirar disso que:

Sistemas lineares

Com isso chegamos a: x = Dx/D, ou seja, -10/ -5 = 2; y = Dy/D = -5/-5 = 1.

Então, o par ordenado (2, 1) é o resultado do sistema linear.


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