Sistemas lineares

Antes de estudarmos os sistemas lineares, vamos relembrar o que são as equações lineares? É muito simples: equação linear é o nome que damos…


Antes de estudarmos os sistemas lineares, vamos relembrar o que são as equações lineares? É muito simples: equação linear é o nome que damos a todas as equações que possuem a forma: a1x1 + a2x2 + a3x3 + … + anxn = b.

Nestes casos, temos que a1, a2, a3, …, an, são os coeficientes reais e o termo independente é representado pelo número real b.

Ainda não entendeu? Vamos simplificar com alguns exemplos de equações lineares:

X + y + z = 20

2x – 3y + 5z = 6

Sistema

Finalmente vamos para o objetivo do artigo de hoje: entender o que são os sistemas lineares. Os sistemas nada mais são do que um conjunto de p equações lineares que tem x variáveis e formam um sistema composto por p equações e n incógnitas.

Por exemplo:

Sistema linear com duas equações e duas variáveis:

x + y = 3

x – y = 1

Sistema linear com duas equações e três variáveis:

2x + 5y – 6z = 24

x – y + 10z = 30

Sistema linear com três equações e três variáveis:

x + 10y – 12z = 120

4x – 2y – 20z = 60

-x + y + 5z = 10

Sistema linear com três equações e quatro variáveis:

x – y – z + w = 10

2x + 3y + 5z – 2w = 21

4x – 2y – z – w = 16

Ficou mais claro agora? Ok, mas e como vamos solucionar esses sistemas? É o que vamos entender no próximo tópico.

Sistemas lineares

Foto: Reprodução

Soluções de sistemas lineares

Considere ter que solucionar o seguinte sistema:

x + y = 3

x – y = 1

Com esse sistema, podemos dizer que a sua solução é o par ordenado (2, 1),  pois esses dois números, juntos, satisfazem as duas equações do sistema. Ficou confuso? Vamos explicar melhor:

Considere que, segundo a resolução a que chegamos, x = 2 e y = 1.

Ao substituirmos na primeira equação do sistema, temos que:

2 + 1 = 3

E na segunda equação:

2 – 1 = 1

Confirmando dessa forma o sistema demonstrado acima.

Vamos conferir mais um exemplo?

Considere o sistema:

2x + 2y + 2z = 20

2x – 2y + 2z = 8

2x – 2y – 2z = 0

Nesse caso, o trio ordenado é (5, 3, 2), satisfazendo as três equações:

  • 5 + 2.3 + 2.2 = 20 -> 10 + 6 + 4 = 20
  • 5 – 2.3 + 2.2 = 8 -> 10 – 6 + 4 = 8
  • 5 – 2.3 – 2.2 = 0 -> 10 – 6 – 4 = 0

Classificação

Os sistemas lineares são classificados de acordo com as soluções que apresenta. Quando não possui solução, recebe o nome de Sistema Impossível, ou somente SI; quando possui uma solução apenas, é chamado de Sistema Possível e Determinado, ou SPD; e por fim, quando possui infinitas soluções, é chamado de Sistema Possível e Indeterminado, ou apenas SPI.


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