Teorema de Laplace

Na Álgebra Linear, o Teorema de Laplace, denominação dada em homenagem ao matemático e astrônomo francês Pierre-Simon Laplace (1749-1827), é um teorema matemático que,…


Na Álgebra Linear, o Teorema de Laplace, denominação dada em homenagem ao matemático e astrônomo francês Pierre-Simon Laplace (1749-1827), é um teorema matemático que, utilizando o conceito do cofator, conduz o cálculo dos determinantes para regras que podem ser aplicadas a quaisquer matrizes quadradas, proporcionando a possibilidade de decompô-los em números menores. O determinante é o número que se associa a uma matriz quadrada, geralmente indicado escrevendo-se os elementos da matriz entre barras ou o símbolo “det” antes da matriz.

Teorema de Laplace

Foto: Reprodução

Como o Teorema de Laplace é aplicado?

Para aplicar o Teorema de Laplace, devemos escolher uma fila (linha ou coluna da matriz) e adicionar os produtos dos elementos desta fila aos cofatores correspondentes.

O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 será obtido por meio da igualdade da soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer pelos respectivos cofatores.

Confira um exemplo:

Calcule o determinante da matriz C, utilizando o Teorema de Laplace:

Teorema de Laplace

De acordo com o Teorema, devemos escolher uma fila para calcular o determinante. Neste exemplo, vamos utilizar a primeira coluna:

Teorema de Laplace

Agora precisamos encontrar os valores dos cofatores:

Teorema de Laplace

Pelo Teorema de Laplace, o determinante da matriz C é dado pela seguinte expressão:

Teorema de Laplace

Primeiro e Segundo Teorema de Laplace

O primeiro teorema de Laplace postula que “o determinante de uma matriz quadrada A é igual à soma dos elementos de qualquer linha de seus componentes algébricos.”

O segundo teorema de Laplace afirma que “o determinante de uma matriz quadrada A é igual à soma dos elementos de qualquer coluna para o seu complemento algébrico.”

As propriedades dos determinantes

As propriedades dos determinantes são as seguintes:

  • Quando todos os elementos de uma fila, sejam linha ou coluna, são nulos, o determinante dessa matriz será nulo;
  • Caso duas filas de uma matriz sejam iguais, então seu determinante é nulo;
  • O determinante de duas filas paralelas de uma matriz proporcional será nulo;
  • Se os elementos de uma matriz forem compostos de combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante será nulo;
  • O determinante de uma matriz e sua equivalente transposta são iguais;
  • Multiplicando-se todos os elementos de uma fila em uma matriz por um número real, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número;
  • Ao trocarmos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal;
  • Em uma matriz, quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.

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