A derivada, no cálculo, em um ponto de uma função y=f(x) representa a taxa de variação instantânea de y com relação a x neste mesmo ponto. A função da velocidade, por exemplo, é uma derivada pois apresenta a taxa de variação – derivada – da função velocidade.
Quando falamos em derivadas, estamos nos referindo às ideias relacionadas com a noção de reta tangente a uma curva no plano. A reta, conforme demonstrado na imagem abaixo, toca a circunferência em um ponto P, perpendicular ao segmento OP.
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Qualquer outra forma curva em que tentemos aplicar esse conceito faz com que a ideia perca o sentido, pois as duas coisas somente acontecem em uma circunferência. Mas o que isso tem a ver com a derivada?
A derivada
A derivada no ponto x=a de y=f(x) representa uma inclinação da reta tangente ao gráfico desta função em um determinado ponto, representado por (a, f(a)).
Quando vamos estudar derivadas, precisamos lembrar dos limites, estudados anteriormente na matemática. Tendo isso em mente, chegamos a definição da derivada:
Lim f(x + Δx) – f(x)
Δx >> 0 Δx
Tendo I, um intervalo aberto não-vazio e : – uma função de em , podemos dizer que a função f(x) é derivável no ponto , quando existir o limite a seguir:
O número real , neste caso, é chamado de derivada da função no ponto a.
Função derivável
A função chamada de derivável ou diferenciável acontece quando sua derivada existe em cada ponto do seu domínio e, segundo essa definição, a variável é definida como um processo de limite.
No limite, a inclinação da secante é igual à da tangente e, considera-se a inclinação da secante quando os dois pontos de intersecção com o gráfico convergem para um mesmo ponto.
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Esse declive da secante ao gráfico de f, que passa pelos pontos (x,f(x)) e (x+h, f(x+h)) é dado pelo quociente de Newton, demonstrado a seguir.
A função , de acordo com outra definição, é derivável em a se existir uma função φa de I em R contínua em a, tal que:
Dessa forma, conclui-se que a derivada em f em a é φa(a).
