Solução: Inicialmente devemos nomear cada proposição com uma letra minúscula, você pode escolher a de sua preferencia.
Primeira proposição: “O planeta Júpiter é maior que o planeta Terra” = p
Segunda proposição: “O planeta Terra é maior que a estrela Sol” = q
Valor lógico das proposições:
VL(p) = V
VL (q) = F
Atribuímos o valor lógico de verdadeiro para (p) e de falso para (q), pois em relação ao sistema solar existem vários estudos científicos que comprovam o valor lógico adotado para estas proposições. Uma demonstração para evidenciar tal situação não será realizada, pois foge do escopo do assunto que este texto irá abordar.
É importante ressaltar que toda a lógica está estabelecida sobre alguns princípios, com as proposições não seria diferente e para elas três princípios podem ocorrer. Confira a lista a seguir:
Veja também: Benefícios de estudar matemática [5]
Não se esqueça de que todos estes princípios são validos somente para sentenças em que é possível atribuir Valor Lógico (VL).
Para saber realizar essa diferenciação confira a tabela a seguir:
Proposição Simples | Proposição composta |
Definição: São preposições que não possui outra que a acompanhe | Definição possui duas ou mais proposição que estarão conectadas entre si, estabelecendo uma única sentença. Cada proposição pode ser chamada de componente. |
Exemplo: · Júpiter é o maior planeta do sistema solar | Exemplo: · Plutão é frio e Mercúrio é quente. · Ou o planeta Terra abriga a vida humana, ou Marte será povoado. · Se a vida no planeta Terra acabar, então os animais estarão extintos. · O humano sobreviverá em outro planeta do sistema solar se e somente se houver água.
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Todos os conectivos grifados são conectivos lógicos; mas o que é um conectivo e para que servem? Pode ser uma pergunta que está a envolver a sua mente nesse exato momento, e a resposta para isso é muito simples, pois conectivos nada mais são do que expressões utilizadas para unir duas ou mais proposições. Possuindo um papel muito importante na hora em que iremos avaliar o valor lógico de uma preposição composta, já que para fazer essa averiguação é necessário:
Primeiro: Verificar o valor lógico das proposições componentes.
Segundo: Verificar o tipo de conectivo que as une.
Falando em conectivos lógicos, quais são eles? Que símbolos utilizam? A seguir iremos tratar a respeito dos conectivos que podem unir as proposições compostas:
Veja também: A origem dos algarismos e números [6]
Conectivo/ partícula | Significado | Conectivos lógicos símbolos |
Conectivo “e” | Conjunção | ∧ |
Conectivo “ou” | Disjunção | ∨ |
Conectivo “Ou… ou…” | Disjunção exclusiva | ∨ |
Conectivo “Se… então…” | Condicional | → |
Conectivo “se e somente se” | Bicondicional | ↔ |
Partícula “não” | Negação | ~ ou ¬ |
Veja a seguir com utilizamos os conectivos e a partícula de negação em sentenças lógicas, acompanhe também os exemplos.
A conjunção é representada pelo conectivo (e), sendo encontrada em proposições compostas. A conjunção pode assumir o valor de verdade caso ambas as proposições componentes sejam verdadeiras. Agora, caso uma das proposições componentes seja falsa a conjunção será toda falsa. Nos casos em que ambas as proposições componentes são falsas a conjunção também é falsa. Verifique o exemplo a seguir para ter um melhor entendimento:
Exemplo 2: Identifique quais as situações em que a conjunção da proposição composta a seguir é verdadeira ou falsa: “O sol é quente e Plutão é frio”.
Resposta: Inicialmente para verificar se as proporções são verdadeiras ou falsas devemos nomeá-las com letra minúscula.
p = O sol é quente
q = Plutão é frio
O instrumento utilizado para a verificação do valor lógico da sentença é a tabela da verdade. Ao usarmos essa tabela é possível verificar se uma conjunção é verdadeira ou falsa. Em relação a este exemplo veja em quais casos a conjunção será verdadeira ou falsa:
Situações | Proposição p | Proposição q | O sol é quente e Plutão é frio |
– | O sol é quente… | …plutão é frio. | p ∧ q |
Primeira situação | V | V | V |
Segunda situação | F | V | F |
Terceira situação | V | F | F |
Quarta situação | F | F | F |
Primeira situação: Se ambas as proposições p e q são verdadeiras a conjunção (p ∧ q) é verdadeira.
Segunda situação: A proposição p é falsa, com isso a conjunção (p ∧ q) é falsa.
Terceira situação: A proposição q é falsa, sendo assim a conjunção (p ∧ q) é falsa.
Quarta situação: As proposições p e q são falsas, então a conjunção (p ∧ q) é falsa.
Em resumo, a conjunção seria verdadeira somente se todas as proposições da sentença fossem verdadeiras.
A Disjunção é representada pelo conectivo (ou), mas o que é disjunção? Em relação à lógica, dizemos que a disjunção ocorre toda a vez que temos na sentença a presença do conectivo ou que separa as proposições componentes. Toda sentença lógica precisa passar por um processo de validação, podendo ser classificada como verdadeira ou falsa. Definir a disjunção é exatamente caracteriza-la como sendo verdadeira ou falsa, sendo que por definição uma disjunção sempre será verdadeira caso ao menos uma das proposições componentes da sentença seja verdadeira. Para compreender isso, acompanhe o exemplo a seguir:
Exemplo 3: Verifique as possíveis situações em que a disjunção é verdadeira ou falsa: “O homem habitará Marte ou o homem habitará a Lua”.
Resposta: Iremos inicialmente nomear as proposições.
p = O homem habitará Marte
q = O homem habitará a Lua
Para verificar as situações em que a disjunção é verdadeira ou falsa, devemos construir a tabela da verdade.
Situação | Proposição p | Proposição q | O homem habitará Marte ou o homem habitará a Lua. |
– | O homem habitará Marte… | …o homem habitará a Lua. | p ∨ q |
Primeira situação | V | V | V |
Segunda situação | F | V | V |
Terceira situação | V | F | V |
Quarta situação | F | F | F |
Primeira situação: Se ambas as proposições p e q são verdadeiras a disjunção (p∨ q) é verdadeira.
Segunda situação: A proposição p é falsa, mas a q é verdadeira. Por esse motivo, a disjunção (p∨ q) é verdadeira.
Terceira situação: A proposição p é verdadeira, mas a q é falsa. Com isso, a disjunção (p∨ q) é verdadeira.
Quarta situação: As proposições p e q são falsas. Então, a disjunção (p∨ q) é falsa, pois para ser verdadeira no mínimo uma das proposições deve ser verdadeira.
A disjunção exclusiva é caracterizada pela utilização repetida do conectivo (ou) ao longo da sentença. Para avaliar se as proposições componentes são verdadeiras, também utilizamos a tabela da verdade. No caso de proposições compostas em que a disjunção exclusiva está presente, temos que a sentença será verdadeira caso uma das componentes seja falsa, mas se todas as componentes forem verdadeiras ou todas forem falsas então a disjunção exclusiva é falsa. Ou seja, na disjunção exclusiva uma das situações colocadas pela componente deve ocorrer e a outra não. Veja o exemplo:
Exemplo 4: Verifique na frase a seguir em quais situações a disjunção exclusiva e verdadeira ou falsa: “Caso existam voos para fora do sistema solar, ou eu irei para Vênus ou eu irei para Netuno”.
Resposta: Iremos nomear as proposições compostas.
p = eu irei para Vênus
q = eu irei para Netuno
Para identificar as possibilidades em que a disjunção exclusiva é verdadeira ou falsa devemos montar a tabela da verdade.
Situação | Proposição p | Proposição q | ou eu irei para Vênus ou eu irei para Netuno. |
– | …eu irei para Vênus… | …eu irei para Netuno. | p ∨ q |
Primeira situação | V | V | F |
Segunda situação | F | V | V |
Terceira situação | V | F | V |
Quarta situação | F | F | F |
Primeira situação: A proposição p é verdadeira e a proposição q é verdadeira, então a disjunção condicional (p∨q) é falsa, pois as duas situações propostas pelas proposições componentes nunca aconteceram juntas.
Segunda situação: A proposição p é falsa e a proposição q é verdadeira, nessa situação a disjunção condicional (p∨q) é verdadeira, pois houve a ocorrência de apenas uma das proposições como sendo verdade.
Terceira situação: A proposição p é verdadeira e a q é falsa, então a disjunção condicional (p∨q) é verdadeira, pois somente uma das proposições é verdadeira.
Quarta situação: A proposição p é falsa e a q também é falsa, então a disjunção condicional (p∨q) é falsa, visto que para ser verdadeira apensa uma das proposições que compõem a sentença deve ser verdadeira.
Uma sentença que é uma proposição composta e considerada condicional quando possui os conectivos (Se… então…). Para determinar se a condicional e verdadeira ou falsa devemos avaliar as proposições. Sendo que, uma proposição componente condicional sempre será falsa se a primeira proposição da sentença for verdadeira e a segunda for falsa. Em todos os demais casos, a condicional será considerada verdadeira. Veja o exemplo a seguir:
Exemplo 5: Mostre em quais situações a seguinte frase: “Se nasci no planeta Terra, então sou terráquea”; possui a sua condicional como sendo verdadeira ou falsa.
Resposta: Vamos nomear as proposições.
p = Nasci no planeta Terra
q = sou terráquea
Obs. Nas proposições do tipo condicional o conectivo se irá determinar a proposição que será a antecedente, enquanto o conectivo então determinará a proposição que será a consequente. Neste exemplo temos que p é denominado como antecedente sendo q denominado consequente.
Para mostrar todas as situações em que a sentença “Se nasci no planeta Terra, então sou terráquea”; possui a sua condicional verdadeira ou falsa devemos confeccionar a tabela da verdade.
Situação | Proposição p | Proposição q | Se nasci no planeta Terra, então sou terráquea |
– | …Nasci no planeta Terra… | …sou terráquea. | p → q |
Primeira situação | V | V | V |
Segunda situação | F | V | F |
Terceira situação | V | F | V |
Quarta situação | F | F | V |
Primeira situação: Se p é verdade e q também é verdade então a condicional (p→q) é verdadeira.
Segunda situação: Se p é falsa e q é verdadeira, então a condicional (p→q) é verdadeira.
Terceira situação: Se p é verdadeira e q é falsa, então obrigatoriamente a condicional (p→q) é falsa, pois um antecedente verdadeiro não pode determinar um consequente falso.
Quarta situação: Se p é falso e q é falso, então a condicional (p→q) é verdadeira.
Para que uma sentença simples seja considerada bicondicional ela deve possuir o conectivo “se e somente se” separando as duas condicionais. Para que a sentença seja considerada uma bicondicional verdadeira, sua proposição antecedente e consequente em relação ao conectivo “se e somente se” devem ser ambos verdadeiros, ou ambos serem falsos. Para averiguar melhor tal situação acompanhe o exemplo:
Exemplo 6: Exponha todas as possibilidades em que a bicondicional será verdadeira ou falsa na seguinte sentença “As estações do ano existem se somente se a Terra realizar o movimento de translação”.
Resposta: Vamos nomear as proposições que compõem a sentença.
p = As estações do ano existem
q = a Terra realiza o movimento de translação
Iremos agora expor as possibilidades de a bicondicional ser considerada verdadeira ou falsa por meio da tabela da verdade.
Situação | Proposição p | Proposição q | As estações do ano existem se somente se a Terra realizar o movimento de translação |
– | As estações do ano existem… | …a Terra realizar o movimento de translação. | p ↔ q |
Primeira situação | V | V | V |
Segunda situação | F | V | F |
Terceira situação | V | F | F |
Quarta situação | F | F | V |
Primeira situação: Se as proposições p e q são verdadeiras, então a bicondicional (p ↔ q) é verdadeira.
Segunda situação: Se a proposição p é falsa e a q é verdadeira, então a bicondicional (p ↔ q) é falsa.
Terceira situação: Se a proposição p é verdadeira e a proposição q é falsa, então a bicondicional (p ↔ q) é falsa.
Quarta situação: Se as proposições p e q são falsas, então a bicondicional (p ↔ q) é verdadeira.
Estaremos diante de uma negação se a sentença apresentar a partícula não na proposição simples. Ao representarmos a negação podemos adotar os símbolos til (~) ou cantoneira (¬). Para avaliar se uma proposição simples é verdadeira ou falsa, devemos reescrever a proposição. Caso a proposição já apresente a partícula não (~p), então devemos negar a proposição negativa, para isso terremos que excluir a partícula não obtendo somente uma proposição (p), mas caso a partícula não já esteja ausente da proposição (p), deveremos adicionar a partícula não na proposição (~p). Acompanhe o exemplo a seguir:
Exemplo 7: Mostre por meio da tabela da verdade as situações em que (p) e (~p) é verdadeiro ou falso para a seguinte proposição simples: “O planeta Terra é redondo”
p = O planeta Terra é redondo.
~p = O planeta Terra não é redondo
Situação | O planeta Terra é redondo | O planeta Terra não é redondo |
– | p | ~p |
Primeira Situação | V | F |
Segunda Situação | F | V |
Primeira situação: Seja (p) verdadeiro, então (~p) é falso.
Segunda situação: Seja (p) falso, então (~p) é verdadeiro.
Obs. Nunca será possível que (p) e (~p) sejam simultaneamente verdadeiros ou falsos, isso porque um é a contradição do outro.
» LIMA, C. S. Fundamentos de Lógica e Algoritmos. Rio Grande no Norte: IFRN Campus Apodi, 2012.
» ÁVILA, G. Introdução à Análise Matemática. 2. ed. São Paulo: Blucher, 1999.