Dízimas periódicas

Para tratamos do assunto referente à dízima periódica inicialmente precisamos entender o que é o conjunto dos números racionais, isso porque a dízima periódica faz parte desse conjunto.

O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q, outros conjuntos fazem parte desse conjunto como o conjunto dos números naturais (N) e o conjunto dos números inteiros (Z). Além disso, números como frações, decimais e dízimas periódicas também constituem esse conjunto. Em um gráfico de diagramas a representação seria a seguinte:

Diagrama de conjuntos

Veja que neste diagrama de conjuntos: N⊂ Z⊂ Q; logo N ⊂Q. O símbolo (⊂) significa está contido.

Podemos escrever por extenso os termos numéricos que compõem cada conjunto, ao reescrevê-los utilizaremos a ordem crescente.

  • Naturais (N):
    {0, 34, 57, 78, 1002}
  • Inteiros (Z):
    { -1222, -98, -46, 0, 34, 57, 78, 1002}
  • Racionais (Q)

O conjunto dos números racionais possui os elementos que foram descritos anteriormente, nesse conjunto a dízima periódica são os números: – 2,3434…;+5,222… e +10,133… Identificamos estes números como sendo dízimas periódicas, pois após a vírgula há uma sequência numérica com repetição infinita. Quando essa repetição ocorre dizemos que o número é uma dízima periódica.

Mulher sentada com números

A dízima periódica faz parte do conjunto dos números racionais (Foto: depositphotos)

Período da dízima periódica

Toda a dízima periódica apresenta período, veja a seguir como é feita a sua representação:

+5,222… = +5, (O período é o número 2).

+10,133… = +10,1 (O período é o número 3).

– 2,3434… = -2, (O período é o número 34).

Classificação da dízima periódica

A dízima periódica pode ser classifica em simples ou composta, para saber a sua diferença devemos observar os números que compõem o seu período.

Dízima periódica simples

Uma dízima periódica é caracterizada como simples quando o seu período é simples, ou seja, os números que estão posicionados após a vírgula são sempre os mesmo repetindo-se em uma sequência infinita.

Veja também: Números naturais

 Exemplo 1:
+5,222… = +5, (Possui período simples, pois o número 2 repete de forma infinita).

– 2,3434… = -2, (Possui período simples, pois o número 3 4 repete de forma infinita).

Dízima periódica composta

A dízima periódica será do tipo composta quando apresentar um anteperíodo. Esse anteperíodo é um número que estará posicionado após a vírgula, mas não possui uma sequência de repetição.

Exemplo 2:

+10,133… = +10,1 (Possui como anteperíodo o número 1 e como período o número 3).

A fração geratriz da dízima periódica

Toda a dízima periódica possui uma fração da qual se origina, essa fração recebe o nome de geratriz. Para descobrirmos essa fração precisamos realizar alguns cálculos. A seguir veja como transformar dízimas periódicas simples e composta em frações geratrizes:

Exemplo 3:

Transforme as dízimas periódicas simples: 0,555…; +5,222… e – 2,3434…  em frações geratrizes.

1- Para transformar 0, 555… em dízima periódica devemos determinar o período.

O período da dízima periódica simples é o número 5 e este número será o numerador na fração geratriz. Já o denominador será sempre o número 9, para saber a quantidades de números noves que devem estar no denominador basta saber a quantidade de termos numéricos que compõem o período. A fração geratriz para a dízima periódica 0,555… é:

2- Iremos transformar a dízima periódica +5,222… em fração geratriz. Inicialmente devemos determinar o período.

Agora podemos determinar a fração geratriz seguindo os passos do exemplo anterior, veja:

Ao final obtivemos uma fração mista ao resolvê-la encontraremos a fração geratriz

A fração geratriz para a dízima periódica 5,222… é:

3 – Encontraremos agora a fração geratriz para a dízima periódica 2,3434… Inicialmente determinamos o período.

Agora vãos separar a parte inteira da decimal.

– 2,3434… = – (2 + 0,3434…)

Como já sabemos o numerador da fração será determinada pelo período que é o número 34, mas o denominador será 99, pois o período é composto por dois algarismos.

Após resolvermos o número misto iremos obter a fração geratriz.

Para descobrir como encontramos a fração geratriz de dízima periódica composta, ou seja, que possui anteperíodo acompanhe o exemplo a seguir:

Veja também: Números irracionais

Exemplo 4:

Descubra a fração geratriz da dízima periódica composta +10,133…

Inicialmente iremos identificar o anteperíodo e o período:

Devemos agora separar a parte inteira da decimal.

+10,133.. = 10 + 0,133…

Vamos descobrir o numerador da fração, para isso precisamos subtrair o anteperíodo com período do anteperíodo, ou seja:

 (anteperíodo com período) – (anteperíodo)=
=13 – 1=
= 12

Para sabermos o valor que o denominador possuí os números 0 e 9 deverão ser utilizado, sendo que 0 representa a quantidade de termos do anteperíodo e o 9 representa a quantidade de termos do período. O número 9 sempre deve vir antes do número 0.

Temos então que a fração geratriz para a dízima periódica +10,133… é

Talvez agora você esteja pensando, mas se existe dízima periódica então talvez exista dízima não periódica, é você está correto em pensar isto, mas esse é um cenário para um próximo.

Obrigada pela leitura, bons estudos!

Referências

» GIOVANNI, J. R; CASTRUCCI, B; JÚNIOR, J. R. G. A conquista da matemática 7° ano – São Paulo: FTD, 2012.

Sobre o autor

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Graduada em Matemática pela UFG e pós-graduanda em Educação Matemática.