Função modular

Em alguns resultados obtidos por meio de cálculos matemáticos faz-se necessário desconsiderar o sinal que acompanha o número. Isso ocorre, por exemplo, ao calcularmos a distância entre dois pontos.

Para que esse sinal seja desconsiderado utilizamos o módulo, que é representado por duas hastes verticais, e expressa o valor absoluto de um número. No texto a seguir trataremos sobre o assunto referente à função modular e muito mais.

O que é um módulo na matemática?

Para entendermos o que é módulo precisamos recorrer à reta numérica real, será por meio do cálculo da distância de um ponto da reta a sua origem (número zero na reta numérica) que obteremos o módulo também chamado de valor absoluto. Acompanhe o exemplo a seguir:

Exemplo: Represente em termos de módulo (valor absoluto) a distância do ponto até a origem dos seguintes valores: -5, -3, 1 e 4.

– Distância do ponto -5 a origem:
|-5| = 5 → A distância é 5.

– Distância do ponto -3 a origem:
|-3| = 3 → A distância é 3.

– Distância do ponto -3 a origem:
+1 = 1 → A distância é 1.

– Distância do ponto -3 a origem:
|+4| = 4 → A distância é 4.

Conceito do módulo

O módulo que também é chamado de valor absoluto possui a seguinte representação:
|x| → leia-se: módulo de x.

  • Caso o x seja um número real positivo, o módulo de x é x;
  • Se x for um número real negativo, o módulo de x terá como resposta o oposto de x, sendo o seu resultado positivo;
  • Caso x seja o número zero, o módulo de x terá como resposta o zero.

Conceito da função modular

O conceito da função modular está em consonância com o conceito de módulo. Sendo determinado pela seguinte generalização:

Como resolver uma função modular

Veja a seguir como resolver questões de função modular em exemplos.

Exemplo 1:

Obtenha a solução da função f(x) = |2x + 8| e esboce o seu gráfico.

Solução:

Inicialmente devemos aplicar a definição de função modular. Observe:

Resolva à primeira inequação.

Observação: x deve ser maior ou igual a -4 e f(x) = y

Resolva à segunda inequação.

Gráfico da função modular: exemplo 1

Para obter o gráfico da função modular, você deve unir as parciais dos dois gráficos feitos anteriormente.

Exemplo 2:

Encontre o gráfico da função modular:

Gráfico da função modular: exemplo 2

Exemplo 3:

Encontre a solução e esboce o gráfico da seguinte função modular:

Devemos solucionar a equação do segundo grau e encontrar as raízes.

As raízes da equação do segundo grau são: -2 e 1.

Gráfico de função modular: exemplo 3

Como o coeficiente (a) é positivo a concavidade da parábola é para cima. Agora temos que fazer o estudo do sinal.

De acordo com esse intervalo, o gráfico dessa função é o seguinte:

O valor do vértice da parábola verde é o oposto do valor que já foi calculado anteriormente.

Exercícios resolvidos

Agora é a sua vez de praticar esboce o gráfico das funções modulares a seguir:

Resposta A

|x + 1| – 2 = (x + 1) – 2, se  x + 1 ≥ 0
|x + 1| – 2 =  – (x + 1) – 2, se x + 1 < 0

Resolvendo a primeira inequação:

(x + 1)  ≥ 0
x + 1 ≥ 0
x ≥ -1

Analisando o resultado anterior referente à inequação (x + 1)- 2 ≥ 0, obtivemos que x será qualquer valor igual ou maior que -1. Para encontrar os valores de f(x)= |x +1|- 2, atribua valores numéricos a x que respeitem a condição em que x ≥ -1

f(x)= (x+1) -2

Resolvendo a segunda inequação:

– (x + 1)< 0
– x – 1 < 0
– x < 1. (-1)
x > -1

O resultado referente à solução da inequação nos diz que: x é qualquer valor maior que -1. Respeitando a condição encontrada para x, nomeei valores numéricos para essa variável e encontre os respectivos valores para f(x).

f(x)=  (x + 1) -2

Resposta B

f(x) = |x| +1

|x|+ 1= x + 1, se  ≥0
|x|+ 1 = -(x) + 1, se  < 0

x ≥ 0 para x+1

x < 0 para -(x) + 1

Resposta C

Encontrando as raízes da equação do segundo grau.

Calculando x do vértice

Calculando y do vértice

Estudo do sinal

Determinando os intervalos da função modular de acordo com o estudo do sinal.

Espero que você, caro estudante, tenha compreendido esse conteúdo. Bons estudos!

Referências

» Iezzi, Gelson; Murakami, Carlos (2004). Fundamentos de Matemática elementar 1, conjuntos, funções. Editora atual.

Sobre o autor

Avatar
Graduada em Matemática pela UFG e pós-graduanda em Educação Matemática.