Para indicar com clareza determinadas situações formamos um grupo ordenado de números dispostos em linhas e colunas e damos o nome de matrizes, que são essas tabelas de números reais. Engana-se quem acredita que não usamos matrizes no nosso dia a dia.
Por exemplo, quando encontramos tabelas de números em jornais, revistas ou até mesmo na quantidade calórica no verso dos alimentos, estamos vendo matrizes. Nestas formações, dizemos que Matriz é o conjunto dos elementos dispostos em m linhas por n colunas (m . n).
Temos assim, m com os valores das linhas e n com os valores da coluna.
A situação muda quando temos matrizes transpostas. Em outras palavras, teremos n . m, o que era m vira n, e vice-versa. Parece confuso? Vamos para os exemplos.
Matriz transposta
1 | 2 | 3 | -1 |
-1 | 1 | 0 | 2 |
2 | -1 | 3 | 2 |
Observando a matriz acima, temos Amxn= A3×4, isto significa dizer que possuímos 3 linhas(m) e 4 colunas (n). Se pedirmos a matriz transposta desse exemplo teremos:
1 | -1 | 2 |
2 | 1 | -1 |
3 | 0 | 3 |
-1 | 2 | 2 |
Para ficar mais fácil é só pensar, o que era diagonal virou horizontal, e claro, o que era horizontal tornou-se vertical. Dizemos então, que Atnxm= At4×3. Pois o número colunas (n) é 3 e o número de linhas (m) é 4.
Podemos dizer também que a 1ª linha de A tornou-se a 1ª coluna de At; a 2ª linha de A agora é a 2ª coluna de At; por fim, a 3ª linha de A virou a 3ª coluna de At.
É possível dizer ainda, que a inversão da matriz transposta é sempre igual a matriz original, isto é (At)t= A. Entenda:
1 | 2 | 3 | -1 |
-1 | 1 | 0 | 2 |
2 | -1 | 3 | 2 |
Isso acontece por que há uma desinversão, ou seja, só fizemos o inverso daquela que já estava invertida, ocasionando na original. Por isso os números deste exemplo estão iguais aos números da A.
Matriz simétrica
Ela é simétrica quando os valores da Matriz original é igual a Matriz transposta, sendo então A= At. Veja os exemplos a baixo e entenda:
2 | -1 | 0 |
-1 | 3 | 7 |
0 | 7 | 3 |
Para transformamos a matriz em transposta, é só transformar as linhas de A nas colunas de At. Ficando desta forma:
2 | -1 | 0 |
-1 | 3 | 7 |
0 | 7 | 3 |
Como se pode perceber, mesmo invertendo as posições dos número de linhas em colunas, a matriz transposta ficou igual a matriz original, sendo A= At. Por essa razão dizemos que a primeira matriz é simétrica.
Outras propriedades das matrizes
(At)t= A
(A + B)t= At +B t (Acontece quando há mais de uma matriz).
(AB)t= B t .A t (Acontece quando há mais de uma matriz).