Máximo Divisor Comum

Você sabe como calcular o Máximo Divisor Comum (MDC) de um ou mais números? Então prepara o papel e a caneta, pois é exatamente esse assunto que você vai conferir nesse artigo do Estudo Prático.

Mas além de aprender como encontrar o MDC dos termos, vamos entender como ele funciona na prática. Para isso, preparamos no final desse texto um exercício resolvido que vai lhe ajudar a entender melhor esse conteúdo. Acompanhe!

O que é o MDC?

MDC é uma sigla utilizada na matemática para tratar do assunto referente ao Máximo Divisor Comum. Para obter esse valor dada uma quantidade finita de números naturais não nulos, devemos encontrar o maior número natural que os divide.

MDC é a sigla utilizada para se referir ao Máximo Divisor Comum (Foto: depositphotos)

Divisibilidade de um número natural

Um número é considerado divisível por outro quando se obtém como resto da divisão o número zero. Veja o exemplo a seguir:

Verifique se 100 é divisível por 2.

Para tal, iremos utilizar o algoritmo da divisão.

Observe que obtemos como resto o número zero, podemos dizer que:

100 é divisível por 2
ou que
2 é um divisor de 100

Como calcular a quantidade de divisores de um número natural?

Para sabermos a quantidade de divisores de um número natural devemos inicialmente decompor esse número em fatores primos e em seguida aplicar a seguinte fórmula:

D(n) = (a + 1) . (b + 1) . (c + 1) …

D(n) =Quantidade de divisores de um número.
a = Expoente do primeiro termo primo da decomposição.
b = Expoente do segundo termo primo da decomposição.
c = Expoente do termo primo da decomposição.
etc: A reticência esta representada pelos três pontinhos, pois a fatoração pode conter mais termos.

Exemplo

Qual a quantidade de divisores do número 36?

O primeiro passo é realizar a decomposição em fatores primos.

Agora iremos aplicar a fórmula

D(36) = (2 + 1) . (2 + 1)
D(36) = 3 . 3
D(36) = 9

O número 36 possui 9 divisores.

Como se calcula o MDC?

Para calcular o MDC podemos utilizar três processos. No primeiro processo realizamos divisões, no segundo processo iremos realizar a decomposição desses números em fatores primos e no terceiro processo realizamos divisões sucessivas.

Veja os exemplos a seguir, cada um contém um processo.

Primeiro processo

Encontre o MDC dos números (15, 60) realizando divisões.

Inicialmente vamos verificar quantos divisores 15 e 60 possuem. Tal verificação é importante, pois no final do processo precisamos saber se obtivemos todos os divisores de ambos os números, para então selecionar o valor numérico que será o MDC.

O número 15 possui 4 divisores.

Como já sabemos a quantidade de divisores que cada número possui, vamos encontrar quem são ele.

Divisores do número 15

15 ÷ 1 = 15
Essa divisão é exata e apresenta como quociente o número 15 que também é divisor de 15.
15 ÷ 15 = 1
Como o quociente é o número 1, e já sabemos que ele é divisor de 15, então devemos escolher outro número para divisor na próxima divisão.

15 ÷ 3 = 5
O quociente dessa divisão exata é o número 5, temos então que 5 também é divisor de 15.
15 ÷ 5 = 3
O número 3 já foi anteriormente considerado divisor de 15. Observe que já obtivemos os 4 divisores para o número 15.

Divisores de 15: 1, 3, 5, 15

Divisores do número 60

60 ÷ 1 = 60
60 ÷ 60 = 1

60 ÷ 2 = 30
60 ÷ 30 = 2

60 ÷ 3 = 20
60 ÷ 20 = 3

60 ÷ 4 = 15
60 ÷ 15 = 4

60 ÷ 5 = 12
60 ÷ 12 = 5

60 ÷ 6 = 10
60 ÷ 10 = 6

Divisores de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

Ao observamos os divisores de 15 é 60 é possível verificar que o maior divisor comum entre eles é o número 15, sendo assim:

MDC (15,60) = 15

Segundo processo

Encontre o MDC dos números (15, 60) utilizando a decomposição em fatores primos.

O MDC dos números quando fatorados é o produto dos fatores comuns elevado ao menor expoente.

O MDC de 15 e 60 é 15

Terceiro processo

Encontre o MDC dos números (35, 60) utilizando o processo das divisões sucessivas.

Nesse processo utilizaremos várias divisões até chegar a uma divisão exata, ou seja, em que o resto da divisão é zero.

Para realizar esse processo, inicialmente devemos dividir o maior número pelo menor número. É importante ressaltar que o quociente da divisão deve ser um número inteiro.

Devemos agora dividir o divisor pelo resto.

Novamente iremos dividir o divisor pelo resto.

Vamos dividir novamente o divisor pelo resto.

O MDC será o divisor da divisão exata, então:

MDC (35, 60) = 5

Propriedades do MDC

Primeira propriedade

Dado dois termos caso um seja múltiplo do outro, então o MDC será o número de menor valor numérico.

MDC(a;b)=b

Exemplo

Qual o MDC de (12, 24)?

Pela primeira propriedade temos que:

MDC (12, 24) = 12

Isso porque 12 . 2 = 24, sendo assim 12 é múltiplo de 24.

Segunda propriedade

Por meio do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) é possível calcular o MDC de dois ou mais termos. Seja (a; b) dois números inteiros, então:

Exemplo

Obtenha o MMC e em seguida calcule o MDC dos números 12 e 20.

MMC(12, 20) = 2 . 2 . 3 . 5
MMC(12, 20) = 60

Como já obtemos o MMC, vamos aplicar a fórmula para descobrir o valor do MDC.

Terceira Propriedade

Se dois ou mais números são primos entre si, ou seja, possuem como máximo divisor comum o número 1, então o MDC é 1.

MDC(a; b) = 1

Exemplo

Encontre o MDC de ( 5, 26).

Ao analisarmos os números 5 e 26 chegamos a conclusão que eles são primos entre si, pois o máximo divisor comum entre eles é o número 1, sendo assim seu MDC é:

MDC(5; 26) = 1

Quarta Propriedade

Dado dois ou mais números, caso um desses números seja divisor de todos os outros, então este número é o MDC.

Exemplo

Determine o MDC dos números (2, 10, 22).

MDC (2, 10, 22) = 2

Exercício resolvido

Augusto é serralheiro, ele precisa confeccionar um móvel de metal para o seu cliente, para isso precisará utilizar duas chapas de metal. Augusto possui em sua serralheria uma chapa medindo 18 metros e a outra mede 24.

Como ele precisa cortar as chapas em pedaços que possuam o mesmo tamanho, devendo ser o maior possível. Com essas duas chapas ele conseguirá quantos pedaços:

O maior tamanho possível que cada pedaço da chapa deve ter é 6 metros.

Com a chapa que mede 18 é possível obter 3 pedaços. Já com a chapa que mede 24 é possível obter 4 pedaços. Sendo assim no total é possível obter 7 pedaços de chapa de metal cada uma com 6 metros.