Existem duas classificações para os números irracionais, eles podem ser do tipo: reais algébricos irracionais ou reais transcendentes.
Caso um número não satisfaça ou não seja raiz de nenhuma uma equação polinomial com coeficientes inteiros, então esse número é transcendental. Exemplos: número π (pi), número e (número de Euler), número de ouro, entre outros.
Um número é considerado algébrico irracional quando o mesmo é raiz de um polinômio que possui coeficientes inteiros. Exemplo: diagonal do quadrado
É uma razão áurea que matematicamente representa a perfeição da natureza, sendo caracterizado pela letra grega (phi). É representado pela seguinte razão:
A medida da diagonal do quadrado de aresta com valor unitário é um número irracional. Acompanhe:
Considere um quadro cujo suas arestas medem 1
Ao aplicarmos o Teorema de Pitágoras encontramos o respectivo valor numérico irracional do quadrado de aresta 1.
Foi na escola pitagórica que se descobriu que mesmo os números racionais estando presentes de forma abundante na reta numérica ainda assim era possível encontrar lacunas que não correspondiam a nenhum número racional.
Os pitagóricos realizaram tal descoberta ao se proporem calcular o valor da diagonal de um quadro com aresta de valor unitário. Ao aplicarem o Teorema de Pitágoras descobriu-se que a diagonal do quadrado corresponde à raiz quadrada do número dois.
Após fazerem inúmeras tentativas para tentar encontrar uma fração que representasse a raiz quadrada de dois, acabaram por concluir que essa raiz não apresentava uma fração, descobrindo-se assim os números irracionais.
» CASTRUCCI, G. JR, G. A conquista da matemática. Nova edição. São Paulo: FTD, 2012.