Números primos

Você sabia que na matemática consideramos o antônimo do número primo o número composto, e que um número será considerado primo se ele possuir somente dois divisores bem determinados. Esse assunto será explicado a seguir com exemplos práticos e com exercícios de fixação. Continue conosco e tenha uma boa leitura.

O que é um número primo?

Os números primos pertencem ao conjunto dos números naturais. Identificamos os números primos pela quantidade de divisores que ele possui: somente dois. Esses dois números são: o número 1 e o próprio número primo que está sendo dividido, ou seja, ele mesmo.

Exemplos de números primos

2 é primo pois os divisores são: D (2): {1, 2}
3 é primo pois os divisores são: D(3): {1,3}
5 é primo pois os divisores são: D(5): {1,5}
7 é primo pois os divisores são: D(7): {1,7}
11 é primo pois os divisores são: D(11): {1,11}

Curiosidades

  • O numeral 1 não é um número primo porque possui apenas um divisor, que é ele mesmo.
  • O numeral 2 é o único número primo que é par.

Como saber se um número é primo ou não?

Um número será primo quando possuir como divisores somente o número 1 e ele mesmo. Algumas condições e regras podem ajudar nessa verificação.

1- Para verificarmos se um número natural qualquer é primo, devemos dividir esse número por números primos como: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Após a divisão, observe se:

– A divisão é exata, ou seja, com resto zero. Nesse caso o número não é primo.
– O quociente é menor que o divisor e o resto é diferente de zero. Nesse caso, é um número primo.

Exemplo:

Verifique se o número 7 e o número 8 são primos.

a) Conjunto dos números primos de 1 a 7: {2, 3, 5, 7}

O número 7 é primo, pois seus únicos divisores são: D(7)= {1, 7}

b) Conjunto dos possíveis divisores de 8: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

O número 8 não é primo, pois seus divisores são: D(8)= [1, 2, 4, 8}

2- Outra forma para identificar se o número é primo, é utilizando os critérios de divisibilidade, como:

-Divisibilidade por 2: Se o número é par, então ele é divisível por 2. Lembre-se que os números pares terminam com os seguintes algarismos: 0, 2, 4, 6 e 8.
Divisibilidade por 3: Um número será divisível por 3 caso a soma dos seus algarismos seja divisível por 3. Lembre que algarismos são os termos numéricos que formam o número, exemplo: O número 72 tem dois algarismos (7 e 2).
– Divisibilidade por 4: Um número será divisível por 4 quando os seus dois últimos algarismo foram 00 ou quando os dois últimos algarismo da direita foram divisíveis por 4, ou seja, a divisão resulta em resto zero.
– Divisibilidade por 5: Se o número for terminado em 0 ou 5, então esse número é divisível por 5.
– Divisibilidade por 6: Um número será divisível por 6 quando ele for par e também divisível por 3. Lembre-se que aplicando a seguinte fórmula é possível determinar todos os números pares an = 2n
– Divisibilidade por 7: Um número será divisível por 7 caso a diferença entre o dobro do último algarismo que compõem o número e o restante do número gere como resultado um número que é múltiplo de 7.
– Divisibilidade por 8: Um número será divisível por 8 quando seus três últimos algarismos forem 000 ou quando seus três últimos algarismos foram divisíveis por 8.
-Divisibilidade por 9: Um número será divisível por 9 se a soma do valor absoluto dos seus algarismo for divisível por 9.
-Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 quando termina em 0.

Os números primos de 1 a 100

Para determinar os números primos de 1 a 100 iremos utilizar o Crivo de Eratóstenes, um algoritmo (sequência de ações que devem ser executadas para se obter um resultado) que deve ser realizado caso você queira determinar um número finito de números primos. O inventor desse Crivo foi o matemático Eratóstenes.

Vamos determinar os números primos de 0 a 100. Acompanhe o passo a passo a seguir:

  1. Faça uma tabela com todos os números naturais do intervalo que você pretende checar. Comece pelo número 2.

2. Marque o primeiro número da lista, ele é o número 2.

3. Retire da tabela todos os números múltiplos de 2.

4. Com a nova reconfiguração da tabela, marque o próximo número primo. Em seguida, retire todos os múltiplos desse número da tabela.

5. Marque o próximo número primo e, em seguida, retire todos os múltiplos desse número da tabela.

6 – Aplique o mesmo procedimento determinando o próximo primo e excluindo seus múltiplos.

7. Todos os números que estão na tabela a partir desse momento são primos, pois não é mais possível determinar nenhum múltiplo. Confira a tabela a seguir:

Hoje em dia, graças a evolução computacional, já são conhecidos inúmeros números primos, mas mesmo com tal avanço ainda não foi possível determinar o maior número primo que existe.

Números compostos

Os números compostos são todos que podem ser escritos como o produto de números primos. Veja os exemplos a seguir:

Exemplos:

4 = 2 .2
6= 2. 3
10 = 2. 5
36 = 2. 2. 3. 3

Exercício

Agora é a sua vez de praticar! Separe os números do conjunto a seguir em números primos e compostos. Em relação aos compostos, faça a decomposição em fatores primos.

{2, 4, 6, 7, 12, 13, 18, 24, 32, 45, 47, 51, 62, , 73, 78, 79, 80, 84}

Para solucionarmos esse exercício iremos  decompor em fatores primos todos os números do conjunto.

2= 2. 1
4=2. 2. 1
6= 2. 3. 1
7= 7. 1
12= 2. 2. 3. 1
13= 13. 1
18= 2. 3. 3. 1
24= 2. 2. 2. 3. 1
32= 2. 2. 2. 2. 2. 1
45= 3. 3. 5. 1
47= 47. 1
51= 3. 17. 1
62= 2. 31. 1
73= 73. 1
78= 2. 3.13. 1
79= 79. 1
80= 2. 2. 2. 2. 5. 1
84= 2. 2. 3. 7. 1

Os números que apresentam na decomposição somente dois fatores são os número primos. Sendo assim:

Conjunto solução: {2, 7, 13, 47, 73, 79}

 

 

 

Referências

» SAMPAIO, F. A. “Jornadas.mat.” Ed. 1. São Paulo. Saraiva. 2012

Sobre o autor

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Graduada em Matemática pela UFG e pós-graduanda em Educação Matemática.