Matemática

Seno, cosseno, tangente

Seno, cosseno e tangente são elementos que compõem  o conhecimento geométrico. Saber para que serve, como utilizar e calcular é fundamental para que se obtenha um conhecimento abrangente em trigonometria [1]. O texto a seguir aborda esse assunto, espero que ele contribua para a sua aprendizagem.

O que é seno, cosseno e tangente?

Seno, cosseno e tangente são razões trigonométricas [2] obtidas por meio das relações existentes entre os lados de um triângulo retângulo. Lembre-se que esse tipo de triângulo possui:

Observando a figura é possível notar que a hipotenusa sempre está oposta ao ângulo de 90°, e que os segmentos de reta que formam o ângulo de 90° são os catetos.

Fórmulas do seno, do cosseno e da tangente

As fórmulas gerais do seno, cosseno e tangente estão descritas a seguir:

Descrição: Seno é a razão trigonométrica estabelecida em um triângulo retângulo entre o cateto oposto e a hipotenusa.

Descrição: Cosseno é a razão trigonometria estabelecida em um triângulo retângulo entre o cateto adjacente e a hipotenusa.

Descrição: Tangente é a razão trigonométrica estabelecida em um triângulo retângulo entre o cateto adjacente e a hipotenusa.

Obs. α pode assumir qualquer valor em graus do ciclo trigonométrico e também pode assumir valores em π rad, ou seja, pi radianos.

Como identificar um cateto oposto e um adjacente?

Para responder a essa pergunta devemos voltar os nossos olhos para os ângulos agudos internos do triângulo retângulo.

Veja que cada ângulo foi nomeado com uma letra grega. O cateto oposto e o adjacente para cada ângulo são segmentos de reta diferentes, mas a hipotenusa sempre será o mesmo segmento de reta.

Para você compreender como identificar o cateto oposto e o adjacente, observe os segmentos de retas que são utilizados em cada razão trigonométrica.

Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis

Os ângulos considerados notáveis são: 30°, 45° e 60°. Isso porque esses ângulos aparecem com maior frequência no cálculo trigonométrico .

Confira na tabela a seguir os valores numéricos que esses ângulos notáveis assumem ao calcularmos o seno, o cosseno e a tangente.

Com a frequente utilização dessa tabela você irá memorizar os valores. Caso você tenha dificuldade na memorização, poderá aprender a canção a seguir ou no tópico seguinte descubra como encontrar os valores dos ângulos notáveis por meio de cálculos matemáticos.

Canção ângulos notáveis

Obtendo os valores dos ângulos notáveis por meio de cálculos matemáticos

Para demonstrar como obter os valores do seno, cosseno e tangente para os ângulos notáveis, esboce inicialmente um triângulo equilátero. Lembre-se que: o triângulo equilátero possui todos os lados com a mesma medida e todos os ângulos medem 60°.

Em seguida iremos determinar a altura desse triângulo, para isso trace a bissetriz do ângulo (A). Essa bissetriz irá de encontro ao seguimento de reta (CB). A bissetriz será a mediana, e a mediana determinará o ponto médio do seguimento de reta (CB).

Temos então que:

Obs. O triângulo equilátero possui todas as propriedades e características específicas que permitem que a altura, bissetriz e mediana sejam o mesmo seguimento. É importante ressaltar que existem muitos outros casos na geometria em que isso não ocorre.

Iremos agora determinar a altura desse triângulo aplicando o Teorema de Pitágoras [3] no triângulo ACD, acompanhe:

Para obtermos os valores referentes aos ângulos notáveis, considere somente um dos lados do triângulo representado anteriormente.

Aplicaremos agora as fórmulas do seno, cosseno e tangente já apresentadas anteriormente.

Após descobrirmos os valores numéricos do seno, cosseno e tangente para os ângulos notáveis 30° e 60°, falta descobrirmos para 45°. Para obter os valores referentes ao seno, cosseno e tangente desse ângulo precisaremos desenhar um quadrado e traçar a sua diagonal, veja:

Um quadrado possui todos os quatro ângulos internos medindo 90°. Ao traçarmos a diagonal(d) do quadrado, dividimos o ângulo de 90° pela metade, ou seja, os novos ângulos passam a ter 45°.

Iremos aplicar o Teorema de Pitágoras para descobrir o valor da diagonal do triângulo ABC em termos de (a).

Com o valor da diagonal/ hipotenusa e os catetos em termo de (a), conseguimos calcular o seno, cosseno e tangente de 45°, acompanhe:

Caso você não consiga memorizar os valores correspondentes aos ângulos notáveis, agora ao menos já sabe calculá-los.

Como saber quando usar seno cosseno e tangente

Ponte Golden Gate

A imagem ilustra a utilização do triângulo em uma das pontes mais famosas do mundo, a Golden Gate, nos Estados Unidos (Foto: depositphotos)

Utilizaremos seno, cosseno e tangente quando precisarmos encontrar a medida referente a qualquer um dos lados do triângulo retângulo ou quando precisamos saber a medida dos ângulos agudos internos.

A estrutura dos triângulos é amplamente usada na construção de objetos e estruturas, podendo ser facilmente encontrada na construção civil. Isso porque o triângulo é considerado uma figura geométrica rígida, ou seja, que não se deforma facilmente. Com isso, toda a construção que possui triângulos em sua estrutura é uma construção mais estável.

Lembre-se que por meio dos conceitos geométricos é possível obter-se triângulos retângulos em qualquer outro triângulo.

Saber utilizar o seno, cosseno e tangente, pode lhe ajudar caso um dia você precise construir ou modelar algo e opte pelo modelo geométrico do triângulo. Você saberá como encontrar a medida dos ângulos e dos lados desse triângulo.

Espero que esse texto tenha contribuído para que você compreenda melhor o tema. Bons estudos!

Referências

» LEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos (2004). Fundamentos de Matemática elementar 3, trigonometria. Editora atual.