Observando a figura é possível notar que a hipotenusa sempre está oposta ao ângulo de 90°, e que os segmentos de reta que formam o ângulo de 90° são os catetos.
As fórmulas gerais do seno, cosseno e tangente estão descritas a seguir:
Descrição: Seno é a razão trigonométrica estabelecida em um triângulo retângulo entre o cateto oposto e a hipotenusa.
Descrição: Cosseno é a razão trigonometria estabelecida em um triângulo retângulo entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
Descrição: Tangente é a razão trigonométrica estabelecida em um triângulo retângulo entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
Obs. α pode assumir qualquer valor em graus do ciclo trigonométrico e também pode assumir valores em π rad, ou seja, pi radianos.
Para responder a essa pergunta devemos voltar os nossos olhos para os ângulos agudos internos do triângulo retângulo.
Veja que cada ângulo foi nomeado com uma letra grega. O cateto oposto e o adjacente para cada ângulo são segmentos de reta diferentes, mas a hipotenusa sempre será o mesmo segmento de reta.
Para você compreender como identificar o cateto oposto e o adjacente, observe os segmentos de retas que são utilizados em cada razão trigonométrica.
Os ângulos considerados notáveis são: 30°, 45° e 60°. Isso porque esses ângulos aparecem com maior frequência no cálculo trigonométrico .
Confira na tabela a seguir os valores numéricos que esses ângulos notáveis assumem ao calcularmos o seno, o cosseno e a tangente.
Com a frequente utilização dessa tabela você irá memorizar os valores. Caso você tenha dificuldade na memorização, poderá aprender a canção a seguir ou no tópico seguinte descubra como encontrar os valores dos ângulos notáveis por meio de cálculos matemáticos.
Para demonstrar como obter os valores do seno, cosseno e tangente para os ângulos notáveis, esboce inicialmente um triângulo equilátero. Lembre-se que: o triângulo equilátero possui todos os lados com a mesma medida e todos os ângulos medem 60°.
Em seguida iremos determinar a altura desse triângulo, para isso trace a bissetriz do ângulo (A). Essa bissetriz irá de encontro ao seguimento de reta (CB). A bissetriz será a mediana, e a mediana determinará o ponto médio do seguimento de reta (CB).
Temos então que:
Obs. O triângulo equilátero possui todas as propriedades e características específicas que permitem que a altura, bissetriz e mediana sejam o mesmo seguimento. É importante ressaltar que existem muitos outros casos na geometria em que isso não ocorre.
Iremos agora determinar a altura desse triângulo aplicando o Teorema de Pitágoras [10] no triângulo ACD, acompanhe:
Para obtermos os valores referentes aos ângulos notáveis, considere somente um dos lados do triângulo representado anteriormente.
Aplicaremos agora as fórmulas do seno, cosseno e tangente já apresentadas anteriormente.
Após descobrirmos os valores numéricos do seno, cosseno e tangente para os ângulos notáveis 30° e 60°, falta descobrirmos para 45°. Para obter os valores referentes ao seno, cosseno e tangente desse ângulo precisaremos desenhar um quadrado e traçar a sua diagonal, veja:
Um quadrado possui todos os quatro ângulos internos medindo 90°. Ao traçarmos a diagonal(d) do quadrado, dividimos o ângulo de 90° pela metade, ou seja, os novos ângulos passam a ter 45°.
Iremos aplicar o Teorema de Pitágoras para descobrir o valor da diagonal do triângulo ABC em termos de (a).
Com o valor da diagonal/ hipotenusa e os catetos em termo de (a), conseguimos calcular o seno, cosseno e tangente de 45°, acompanhe:
Caso você não consiga memorizar os valores correspondentes aos ângulos notáveis, agora ao menos já sabe calculá-los.
Utilizaremos seno, cosseno e tangente quando precisarmos encontrar a medida referente a qualquer um dos lados do triângulo retângulo ou quando precisamos saber a medida dos ângulos agudos internos.
A estrutura dos triângulos é amplamente usada na construção de objetos e estruturas, podendo ser facilmente encontrada na construção civil. Isso porque o triângulo é considerado uma figura geométrica rígida, ou seja, que não se deforma facilmente. Com isso, toda a construção que possui triângulos em sua estrutura é uma construção mais estável.
Lembre-se que por meio dos conceitos geométricos é possível obter-se triângulos retângulos em qualquer outro triângulo.
Saber utilizar o seno, cosseno e tangente, pode lhe ajudar caso um dia você precise construir ou modelar algo e opte pelo modelo geométrico do triângulo. Você saberá como encontrar a medida dos ângulos e dos lados desse triângulo.
Espero que esse texto tenha contribuído para que você compreenda melhor o tema. Bons estudos!
» LEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos (2004). Fundamentos de Matemática elementar 3, trigonometria. Editora atual.