Antes de entendermos o conceito de sistemas lineares, precisamos entender as equações lineares.
Índice
Equação linear
Uma equação linear é aquela que possui variáveis e se apresenta da seguinte maneira:
A1x1 + a2x2 + a3x3 +… anxn = b
Sendo que a1, a2, a3, …, são coeficientes reais e b é o termo independente.
Confira abaixo alguns exemplos de equações lineares:
x + y + z = 15
2x – 3y + 5z = 2
X – 4y – z = 0
4x + 5y – 10z = -3
Sistema linear
Tendo esse conceito em mente, agora podemos partir para a segunda parte: os sistemas lineares.
Quando falamos em sistemas lineares, estamos falando de um conjunto p de equações lineares com variáveis x1, x2, x3, …, xn que formam esse sistema.
Por exemplo:
X + y = 3
X – y = 1
Este é um sistema linear com duas equações e duas variáveis.
2x + 5y – 6z = 24
X – y + 10z = 30
Este, por sua vez, é um sistema linear com duas equações e três variáveis:
X + 10 y – 12 z = 120
4x – 2y – 20z = 60
-x + y + 5z = 10
E o sistema linear com três equações e três variáveis.
X – y – z + w = 10
2x + 3y + 5z – 2w = 21
4x – 2y – z + w = 16
Neste caso, por fim, temos um sistema linear com três equações e quatro variáveis.
Como solucionar?
Mas como devemos resolver um sistema linear? Confira o exemplo abaixo para melhor entendimento:
X + y = 5
X – y = 1
Neste caso, a solução do sistema linear é o par ordenado (3, 2), pois consegue solucionar as duas equações. Confira:
X= 3 y = 2
3 + 2 = 5
3 – 2 = 1
Classificação dos sistemas lineares
Os sistemas lineares são classificados de acordo com a quantidade de soluções que apresenta. Com isso, podem ser classificados como:
- Sistema Possível e Determinado, ou SPD: quando possui apenas uma solução;
- Sistema Possível e Indeterminado, ou SPI: quando possui infinitas soluções;
- Sistema Impossível, ou SI: quando não possui solução.
Regra de Cramer
Um sistema linear com n x n incógnitas pode ser resolvido com a regra de Cramer, desde que o determinante seja diferente de 0.
Quando temos o seguinte sistema:
Neste caso, a1 e a2 se relacionam com a incógnita x, e b1 e b2 se relacionam com a incógnita y.
A partir disso, podemos elaborar a matriz incompleta:
Ao substituirmos os coeficientes de x e y que o compõe pelos termos independentes c1 e c2 podemos encontrar os determinantes Dx e Dy. Com isso será possível aplicar a regra de Cramer.
Por exemplo:
Quando temos o sistema a seguir
Podemos tirar disso que:
Com isso chegamos a: x = Dx/D, ou seja, -10/ -5 = 2; y = Dy/D = -5/-5 = 1.
Então, o par ordenado (2, 1) é o resultado do sistema linear.