Antes de estudarmos os sistemas lineares, vamos relembrar o que são as equações lineares? É muito simples: equação linear é o nome que damos a todas as equações que possuem a forma: a1x1 + a2x2 + a3x3 + … + anxn = b.
Nestes casos, temos que a1, a2, a3, …, an, são os coeficientes reais e o termo independente é representado pelo número real b.
Ainda não entendeu? Vamos simplificar com alguns exemplos de equações lineares:
X + y + z = 20
2x – 3y + 5z = 6
Sistema
Finalmente vamos para o objetivo do artigo de hoje: entender o que são os sistemas lineares. Os sistemas nada mais são do que um conjunto de p equações lineares que tem x variáveis e formam um sistema composto por p equações e n incógnitas.
Por exemplo:
Sistema linear com duas equações e duas variáveis:
x + y = 3
x – y = 1
Sistema linear com duas equações e três variáveis:
2x + 5y – 6z = 24
x – y + 10z = 30
Sistema linear com três equações e três variáveis:
x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
-x + y + 5z = 10
Sistema linear com três equações e quatro variáveis:
x – y – z + w = 10
2x + 3y + 5z – 2w = 21
4x – 2y – z – w = 16
Ficou mais claro agora? Ok, mas e como vamos solucionar esses sistemas? É o que vamos entender no próximo tópico.
Foto: Reprodução
Soluções de sistemas lineares
Considere ter que solucionar o seguinte sistema:
x + y = 3
x – y = 1
Com esse sistema, podemos dizer que a sua solução é o par ordenado (2, 1), pois esses dois números, juntos, satisfazem as duas equações do sistema. Ficou confuso? Vamos explicar melhor:
Considere que, segundo a resolução a que chegamos, x = 2 e y = 1.
Ao substituirmos na primeira equação do sistema, temos que:
2 + 1 = 3
E na segunda equação:
2 – 1 = 1
Confirmando dessa forma o sistema demonstrado acima.
Vamos conferir mais um exemplo?
Considere o sistema:
2x + 2y + 2z = 20
2x – 2y + 2z = 8
2x – 2y – 2z = 0
Nesse caso, o trio ordenado é (5, 3, 2), satisfazendo as três equações:
- 5 + 2.3 + 2.2 = 20 -> 10 + 6 + 4 = 20
- 5 – 2.3 + 2.2 = 8 -> 10 – 6 + 4 = 8
- 5 – 2.3 – 2.2 = 0 -> 10 – 6 – 4 = 0
Classificação
Os sistemas lineares são classificados de acordo com as soluções que apresenta. Quando não possui solução, recebe o nome de Sistema Impossível, ou somente SI; quando possui uma solução apenas, é chamado de Sistema Possível e Determinado, ou SPD; e por fim, quando possui infinitas soluções, é chamado de Sistema Possível e Indeterminado, ou apenas SPI.
