Na Álgebra Linear, o Teorema de Laplace, denominação dada em homenagem ao matemático e astrônomo francês Pierre-Simon Laplace (1749-1827), é um teorema matemático que, utilizando o conceito do cofator, conduz o cálculo dos determinantes para regras que podem ser aplicadas a quaisquer matrizes quadradas, proporcionando a possibilidade de decompô-los em números menores. O determinante é o número que se associa a uma matriz quadrada, geralmente indicado escrevendo-se os elementos da matriz entre barras ou o símbolo “det” antes da matriz.
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Como o Teorema de Laplace é aplicado?
Para aplicar o Teorema de Laplace, devemos escolher uma fila (linha ou coluna da matriz) e adicionar os produtos dos elementos desta fila aos cofatores correspondentes.
O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 será obtido por meio da igualdade da soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer pelos respectivos cofatores.
Confira um exemplo:
Calcule o determinante da matriz C, utilizando o Teorema de Laplace:
De acordo com o Teorema, devemos escolher uma fila para calcular o determinante. Neste exemplo, vamos utilizar a primeira coluna:
Agora precisamos encontrar os valores dos cofatores:
Pelo Teorema de Laplace, o determinante da matriz C é dado pela seguinte expressão:
Primeiro e Segundo Teorema de Laplace
O primeiro teorema de Laplace postula que “o determinante de uma matriz quadrada A é igual à soma dos elementos de qualquer linha de seus componentes algébricos.”
O segundo teorema de Laplace afirma que “o determinante de uma matriz quadrada A é igual à soma dos elementos de qualquer coluna para o seu complemento algébrico.”
As propriedades dos determinantes
As propriedades dos determinantes são as seguintes:
- Quando todos os elementos de uma fila, sejam linha ou coluna, são nulos, o determinante dessa matriz será nulo;
- Caso duas filas de uma matriz sejam iguais, então seu determinante é nulo;
- O determinante de duas filas paralelas de uma matriz proporcional será nulo;
- Se os elementos de uma matriz forem compostos de combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante será nulo;
- O determinante de uma matriz e sua equivalente transposta são iguais;
- Multiplicando-se todos os elementos de uma fila em uma matriz por um número real, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número;
- Ao trocarmos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal;
- Em uma matriz, quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.