Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras está diretamente relacionado ao triângulo retângulo, os egípcios e os Babilônios já o utilizavam, mas ainda não se tinha a formulação e o rigor matemático adequado. A história do Teorema de Pitágoras perpassa pela Grécia antiga, onde o filósofo e também matemático Pitágoras realizou a primeira demonstração desse teorema.

Conjectura-se que talvez Pitágoras ^[1] tenha observado mosaicos antigos que possuíam as formas geométricas triângulos retângulos isósceles e triângulos retângulos escalenos para assim conceber o teorema que leva o seu nome. Veja a seguir a estrutura geométrica desses dois triângulos:

Triângulo retângulo isóscele e escaleno

• Triângulo retângulo isóscele: Esse triângulo possui um ângulo que mede 90°, seus outros dois ângulos são agudos, ou seja, menor que 90°. Em relação aos lados, dois são congruentes possuindo a mesma medida.
• Triângulo retângulo escaleno: Esse triângulo possui um ângulo que mede 90°, seus outros dois ângulos são agudos, ou seja, menor que 90°. Já a medida dos seus lados são todas diferentes.

Veja também: Área do triângulo ^[2]

A relação entre triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras

Após Pitágoras observar esses mosaicos, ele estabeleceu importantes relações geométricas, sendo uma delas:

“A área do quadro construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos”.

Para entender essa definição de forma mais clara, observe a figura geométrica abaixo, nela está representada a hipotenusa e os catetos de um triângulo retângulo.

Triângulo retângulo

A hipotenusa sempre será o lado aposto ao ângulo de 90°, já os catetos são os segmentos de reta que formam o ângulo de 90°. Agora que já sabemos as características de um triângulo retângulo, vamos representar a relação enunciada anteriormente utilizando um exemplo geométrico que segue a condição de existência de triângulo.

Cálculo da área triângulo retângulo

Veja que a área do quadrado sobre a hipotenusa é igual a soma da área dos quadrados construído sobre os catetos, ou seja:

Área do quadrado sobre a hipotenusa = soma dos quadrados construídos sobre os catetos

5 x 5 = (4 x 4) + (3 x 3)
25 = 16 + 9
25 = 25

Veja também: Baricentro do triângulo ^[3]

Fórmula do Teorema de Pitágoras

A fórmula do Teorema de Pitágoras é descrita pela seguinte frase:

“Em todo o triângulo retângulo a medida da hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos”.

Verifique a seguir a representação geométrica e algébrica desse teorema:

Representação geométrica e fórmula do Teorema de Pitágoras

Podemos aplicar o Teorema para encontrar a medida desconhecida de um dos lados do triângulo retângulo. Acompanhe o exemplo abaixo é veja como isso pode ser feito:

Exemplo

Encontre o valor referente à medida de (x) no triângulo abaixo.
Resposta: Substitua os valores referente a medida dos catetos na fórmula de Pitágoras é obtenha a medida de x.