Cálculo de derivadas

A derivada, no cálculo, em um ponto de uma função y=f(x) representa a taxa de variação instantânea de y com relação a x neste…


A derivada, no cálculo, em um ponto de uma função y=f(x) representa a taxa de variação instantânea de y com relação a x neste mesmo ponto. A função da velocidade, por exemplo, é uma derivada pois apresenta a taxa de variação – derivada – da função velocidade.

Quando falamos em derivadas, estamos nos referindo às ideias relacionadas com a noção de reta tangente a uma curva no plano. A reta, conforme demonstrado na imagem abaixo, toca a circunferência em um ponto P, perpendicular ao segmento OP.

Cálculo de derivadas

Foto: Reprodução

Qualquer outra forma curva em que tentemos aplicar esse conceito faz com que a ideia perca o sentido, pois as duas coisas somente acontecem em uma circunferência. Mas o que isso tem a ver com a derivada?

A derivada

A derivada no ponto x=a de y=f(x) representa uma inclinação da reta tangente ao gráfico desta função em um determinado ponto, representado por (a, f(a)).

Quando vamos estudar derivadas, precisamos lembrar dos limites, estudados anteriormente na matemática. Tendo isso em mente, chegamos a definição da derivada:

Lim f(x + Δx) – f(x)

Δx >> 0 Δx

Tendo I, um intervalo aberto não-vazio e :Cálculo de derivadas  – uma função de Cálculo de derivadas  em Cálculo de derivadas , podemos dizer que a função f(x) é derivável no ponto Cálculo de derivadas , quando existir o limite a seguir:

Cálculo de derivadas

O número real Cálculo de derivadas , neste caso, é chamado de derivada da função Cálculo de derivadas  no ponto a.

Função derivável

A função chamada de derivável ou diferenciável acontece quando sua derivada existe em cada ponto do seu domínio e, segundo essa definição, a variável é definida como um processo de limite.

No limite, a inclinação da secante é igual à da tangente e, considera-se a inclinação da secante quando os dois pontos de intersecção com o gráfico convergem para um mesmo ponto.

Cálculo de derivadas

Foto: Reprodução

Esse declive da secante ao gráfico de f, que passa pelos pontos (x,f(x)) e (x+h, f(x+h)) é dado pelo quociente de Newton, demonstrado a seguir.

Cálculo de derivadas

A função , de acordo com outra definição, é derivável em a se existir uma função φa de I em R contínua em a, tal que:

Cálculo de derivadas

Dessa forma, conclui-se que a derivada em f em a é φa(a).


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