Matrizes transpostas

Para indicar com clareza determinadas situações formamos um grupo ordenado de números dispostos em linhas e colunas e damos o nome de matrizes, que…


Para indicar com clareza determinadas situações formamos um grupo ordenado de números dispostos em linhas e colunas e damos o nome de matrizes, que são essas tabelas de números reais. Engana-se quem acredita que não usamos matrizes no nosso dia a dia.

Por exemplo, quando encontramos tabelas de números em jornais, revistas ou até mesmo na quantidade calórica no verso dos alimentos, estamos vendo matrizes. Nestas formações, dizemos que Matriz é o conjunto dos elementos dispostos em m linhas por n colunas (m . n).

matrizes-transpostas-exemplo1

Temos assim, m com os valores das linhas e n com os valores da coluna.

A situação muda quando temos matrizes transpostas. Em outras palavras, teremos n . m, o que era m vira n, e vice-versa. Parece confuso? Vamos para os exemplos.

Matriz transposta

1 2 3 -1
-1 1 0 2
2 -1 3 2

Observando a matriz acima, temos Amxn= A3×4, isto significa dizer que possuímos 3 linhas(m) e 4 colunas (n). Se pedirmos a matriz transposta desse exemplo teremos:

At
1 -1 2
2 1 -1
3 0 3
-1 2 2

Para ficar mais fácil é só pensar, o que era diagonal virou horizontal, e claro, o que era horizontal tornou-se vertical. Dizemos então, que Atnxm= At4×3. Pois o número colunas (n) é 3 e o número de linhas (m) é 4.

Podemos dizer também que a 1ª linha de A tornou-se a 1ª coluna de At; a 2ª linha de A agora é a 2ª coluna de At; por fim, a 3ª linha de A virou a 3ª coluna de At.

É possível dizer ainda, que a inversão da matriz transposta é sempre igual a matriz original, isto é (At)t= A. Entenda:

(At)t
1 2 3 -1
-1 1 0 2
2 -1 3 2

Isso acontece por que há uma desinversão, ou seja, só fizemos o inverso daquela que já estava invertida, ocasionando na original. Por isso os números deste exemplo estão iguais aos números da A.

Matriz simétrica

Ela é simétrica quando os valores da Matriz original é igual a Matriz transposta, sendo então A= At. Veja os exemplos a baixo e entenda:

A
2 -1 0
-1 3 7
0 7 3

Para transformamos a matriz em transposta, é só transformar as linhas de A nas colunas de At. Ficando desta forma:

At
2 -1 0
-1 3 7
0 7 3

Como se pode perceber, mesmo invertendo as posições dos número de linhas em colunas, a matriz transposta ficou igual a matriz original, sendo A= At. Por essa razão dizemos que a primeira matriz é simétrica.

Outras propriedades das matrizes

(At)t= A

(A + B)t= At +B t (Acontece quando há mais de uma matriz).

(AB)t= B t .A t (Acontece quando há mais de uma matriz).


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