Equações irracionais

As equações começam a ser estudadas a partir do 7º ano do ensino fundamental. Elementos matemáticos são adicionados na equação, como: frações, números decimais, expoentes e até mesmo radicais.

Será exatamente quando a equação possuir uma variável em seu radicando que ela será considerada irracional. Nas linhas a seguir você aprenderá um pouco mais sobre assunto.

O que é uma equação irracional?

Uma equação é irracional quando possui em seu radicando uma ou mais variáveis, que são geralmente representadas por uma letra (x, y, z,…). Essa variáveis estão representando um número ainda desconhecido.

Ilustração de raiz quadrada com x

Uma equação é considerada irracional quando existe uma incógnita no radicando (Foto: depositphotos)

Como achar o valor da variável?

Para fazer uma equação irracional ou solucioná-la, é importante termos em mente que precisamos transformá-la em uma equação racional. Para que isso seja obtido, todas as variáveis da equação não podem compor o radicando, ou seja, as variáveis da equação não devem fazer parte do um radical.

Resolvendo equações irracionais

Veja a seguir como solucionar uma equação irracional.

Exemplo 1

Obtenha as raízes da equação irracional a seguir:

Solução:

Para solucionar essa equação devemos elevar ambos os membros ao quadrado, isso porque o índice do único radical dessa equação irracional é 2. Lembre-se que: em uma equação, o que for aplicado no primeiro membro deve ser aplicado ao segundo membro.

Simplifique as potências no primeiro membro e solucione a potência no segundo membro.

Ao simplificarmos o expoente com o índice no primeiro membro, o radicando sai do radical. Com isso, a equação passa a ser racional, visto que a variável (x) não se encontra mais dentro do radical.

A raiz para a equação racional é x=21. Devemos verificar se 21 também é raiz para a equação irracional, aplicando a substituição de valores.

Com a igualdade 4=4 é validada, temos que 21 é a raiz para essa equação irracional.

Equação irracional com duas raízes possíveis

A seguir será resolvido uma equação irracional que possui como solução duas raízes. Acompanhe o exemplo.

Exemplo 2

Obtenha as raízes da equação irracional a seguir:

Solução:

Inicialmente devemos tornar essa equação em racional, eliminando o radical.

Simplifique o expoente com o índice no primeiro membro da equação. No segundo membro da equação resolva o produto notável quadrado da diferença entre dois termos.

Todos os termos do segundo membro devem ser transferidos para o primeiro membro, respeitando o princípio aditivo e multiplicativo da equação.

Agrupe os termos semelhantes.

Como a variável possui sinal negativo, devemos multiplicar toda a equação por -1 para tornar o termo x² positivo.

Veja que ambos os termos do primeiro membro possuem a variável X. Então podemos colocar o X de menor grau em evidência.

Iguale cada fator do produto a zero para que possamos obter as raízes.

x = 0 é a primeira raiz.

x – 7 = 0

x = +7 é a segunda raiz.

Precisamos verificar se as raízes obtidas são raízes para a equação irracional. Para isso, devemos aplicar o método da substituição.

Equações biquadrada irracionais

Uma equação biquadrada é do quarto grau. Quando essa equação é irracional significa que as variáveis dessa equação estão dentro de um radical. No exemplo a seguir você entenderá como solucionar esse tipo de equação.

 Exemplo 3:

Obtenha as raízes da equação:

Solução:

Para solucionar essa equação precisamos retirar o radical. Para isso, eleve ambos os membros da equação ao quadrado.

Simplifique o índice do radical com o expoente no primeiro membro e obtenha a solução da potenciação no segundo membro.

a equação obtida é biquadrada. Para solucioná-la devemos determinar uma nova variável para x² e realizar substituições.

Após realizar todas as substituições, encontramos uma equação do segundo grau. Para resolvê-la vamos utilizar a fórmula de Bhaskara. Caso você queira, também é possível utilizar o fator comum em evidência.

Resolvendo a equação do segundo grau obtemos as seguintes raízes:

y`= 9 e y“= 0

Como x² = y, temos: x² = 9

Vamos agora verificar se as raízes obtidas para a variável x satisfazem a equação irracional.

Espero, caro estudante, que você tenha aproveitado a leitura desse texto e adquirido um conhecimento relevante. Bons estudos!

Referências

» CENTURIÓN, M; JAKUBOVIC, J. “Matemática na medida certa“. 1. ed. São Paulo: Leya, 2015.

Sobre o autor

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Graduada em Matemática pela UFG e pós-graduanda em Educação Matemática.