Trigonometria

O estudo da trigonometria se inicia nos últimos anos do ensino fundamental. É normal que alguns alunos possuam dificuldades no entendimento desse conteúdo, pois ela envolve conceitos de medida e teoremas mais elaborados.

No texto a seguir você encontrará respostas para indagações como: o que é e para que serve a trigonometria? Qual o objetivo de estudarmos trigonometria? Qual a importância da trigonometria no dia a dia? Entre outras.

Esperamos, caro leitor, que ao finalizar a leitura desse texto você se sinta mais confiante em solucionar questões que envolva esse conteúdo. Continue a leitura e bons estudos.

O que é trigonometria?

A trigonometria que é estudada na atualidade se originou na Grécia antiga. Sua primeira referência consta no livro de Bartolomeu Pitiscus (1595) intitulado: Trigonometriae Sive de Solutione Triangulo Tractaus Brevis et Perspicuus.

Dois alunos em frente a quadro negro

A trigonometria serve para estudar os triângulos (Foto: depositphotos)

Esse livro teve uma segunda versão em 1600 sendo intitulado como: Trigonometrae Sive de Dimensione Triangulorum Libri Quinque. A palavra trigonometria possui a seguinte etimologia:

Trigonometria = Tri(Três) + gonía (ângulo) + métron(medida)

Temos então que a palavra trigonometria refere-se às medidas feitas nos três ângulos do triângulo (trigonon). A trigonometria serve para estudar os triângulos que como você já deve saber, são polígonos que possuem: três segmentos de reta não coplanares, três vértices, três ângulos internos e três ângulo externos. A seguir a representação de um triângulo genérico.

Estudamos a trigonometria com o objetivo de estabelecermos relações e determinarmos propriedades no triângulo retângulo quanto a medida dos lados e a medida dos ângulos. Graças à trigonometria tornou-se possível relacionar tais medidas.

Podemos encontrar no nosso dia a dia, situações/problemas ou exercícios em que será necessário usar a trigonometria, podendo destacar: a necessidade de se calcular a altura de determinado objeto ou corpo ou a necessidade de se calcular distâncias muito longas.

Trigonometria no triângulo retângulo

Para aplicarmos a trigonometria no triângulo retângulo é preciso determinar os catetos e a hipotenusa.

Relação fundamental da trigonometria

Agora sabendo como identificar os catetos e a hipotenusa, podemos determinar a relação fundamental da trigonometria também chamada de Teorema de Pitágoras que diz: “A área do quadro construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos”.

A versão resumida desse teorema está descrita a seguir:

Demonstração geométrica do Teorema de Pitágoras

No exemplo a seguir está a demonstração geométrica desse teorema.

Seja um triângulo HGK, constrói-se sobre os seus lados os quadrados: MLKH, EHGF, GKJI como mostra a figura a seguir:

Pela versão regular do Teorema de Pitágoras temos que a área do quadrado MLKH é igual à soma das áreas dos retângulos EHGF e GKJI. Para efetuar essa soma considere:

Fazendo a contagem dos quadrados obtemos o seguinte resultado:

MLKH = EHGF + GKJI
MLKH = 9 + 9
MLKH = 18

Aplicando o Teorema de Pitágoras para encontrar a medida da hipotenusa:

Relações ou razões trigonométricas no triângulo retângulo

As relações trigonométricas do triângulo retângulo estão relacionadas aos ângulos que compõem o triângulo retângulo e as medidas de seus lados. As três principais razões trigonométricas são:

Observe o triângulo a seguir e acompanhe a explicação para obter um melhor entendimento sobre as relações ou razões trigonométricas no triângulo retângulo.

Iremos agora estabelecer as razões trigonométricas em relação aos ângulos: α(alfa) e γ(gama).

Tabela trigonométrica

A tabela trigonométrica serve para consultarmos o valor numérico dos ângulos. Na tabela trigonométrica a seguir está descrito o valor correspondente as razões trigonométricas para ângulos menores ou iguais a 90° (≤ 90°).

Lembre-se que para cada medida de ângulo temos um valor correspondente das razões trigonométricas, ou seja, seno, cosseno e tangente. Tais valores podem ser obtidos por meio de uma calculadora científica ou consultando a tabela trigonométrica.

Tabela trigonométrica dos ângulos notáveis

Os ângulos apresentados a seguir são considerados notáveis na trigonometria por serem frequentemente encontrados como sendo medida de ângulos no triângulo retângulo, além disso, possuem também resultados diferenciados. Os ângulos considerados notáveis são: 30°, 45° e 60°. Veja a seguir a tabela dos ângulos notáveis.

  • Representação em fração

  • Representação em número decimal

Acompanhe a seguir o passo a passo de como essa tabela pode ser construída.

Relações métricas no triângulo retângulo

As relações métricas são estabelecidas remetendo-se aos elementos de um triângulo retângulo. Veja a seguir um triângulo retângulo e os elementos que o compõem.

Pela semelhança de triângulos podemos estabelecer as seguintes relações:

Outra relação métrica no triângulo ∆ABC e dada pela soma das projeções (m) e (n) sendo igual à hipotenusa (a).

a = m + n

De todas as relações métricas uma das mais importantes é o Teorema de Pitágoras, obtemos esse teorema efetuando a soma de duas outras relações que já foram demonstradas anteriormente, acompanhe:

Na tabela a seguir estão às seis relações métricas:

Exercícios resolvidos

1) Utilizando o teorema de Pitágoras encontre a medida do segmento desconhecido

A medida da hipotenusa é 10. Como estamos calculando o valor do lado de um polígono o mesmo não pode ser negativo, por este motivo consideramos somente o valor positivo da raiz quadrada.

2) O triângulo da imagem a seguir é isósceles. Calcule o valor referente a altura desse triângulo sabendo que M é o ponto meio do segmento de reta AC.

A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Para descobrir os valores dos ângulos da base, basta resolver a seguinte equação:

Vamos calcular o seno de 75°do triângulo ∆ABM:

Caso você opte por calcular o cosseno irá obter a mesma resposta:

Podemos ainda obter o valor da altura utilizando o teorema de Pitágoras:

3) Utilizando as relações métricas do triângulo retângulo encontre os valores desconhecidos.

Caro estudante espero que você tenha gostado do texto, bons estudos!

Referências

» DANTE,L. R. Matemática Contextos e aplicações. Editora ática. São Paulo. 2018.

Sobre o autor

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Graduada em Matemática pela UFG e pós-graduanda em Educação Matemática.