Números complexos

Representado por C, o conjunto dos números complexos contém o conjunto dos números reais. Um número complexo é um número z que pode ser…


Representado por C, o conjunto dos números complexos contém o conjunto dos números reais. Um número complexo é um número z que pode ser escrito na seguinte forma:

z = x + iy,

em que x e y são números reais e i denota a unidade imaginária. A unidade imaginária possui a propriedade i² = -1, sendo que x e y são chamados de parte real e parte imaginária de z.

Números complexos

Foto: Reprodução

A história dos números complexos

Os estudos sobre os números complexos tiveram início graças à contribuição do matemático Girolamo Cardano (1501 – 1576). Cardano demonstrou que, mesmo com a existência de um termo negativo em uma raiz quadrada, era possível encontrar uma solução para a equação do segundo grau x² – 10x + 40. Até então, os matemáticos acreditavam que extrair a raiz quadrada de um número negativo não era possível. A partir da contribuição de Girolamo Cardono, outros matemáticos passaram a estudar sobre esse tema.

Representação algébrica dos números complexos

Um número complexo é representado por z = a + ib com a, b Î R.

Dessa forma, temos que:

  • a é a parte real de z e se escreve Re(z) = a;
  • b é a parte imaginária de z e se escreve Im (z) = b.
  • O complexo z é um número real se e somente se Im(z) = 0.
  • O complexo z é um imaginário puro se e somente se Re(z) = 0 e Im(z) ¹ 0.
  • O complexo z é nulo se e somente se Re (z) = Im (z) = 0.

Plano de Argand-Gauss

O plano de Argand-Gauss, também denominado plano complexo, é uma representaççao geométrica do conjunto dos números complexos. A cada número complexo z = a + bi, um ponto P pode ser associado no plano cartesiano. A parte real é representada por um ponto no eixo real, e a parte imaginária, por um ponto no eixo vertical, chamado de eixo imaginário.

O ponto P é chamado de imagem ou afixo de z.

Da mesma maneira que cada ponto da reta está associado a um número real, o plano complexo associa o ponto (x, y) do plano ao número complexo x + yi. Esta associação conduz a duas formas de representação de um número complexo: a forma retangular ou cartesiana e a forma polar (equivalente à chamada forma exponencial).

*Revisado por Paulo Ricardo – professor pós-graduado em matemática e suas novas tecnologias


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