Conectivos lógicos: o que são e para que servem?

Os conectivos lógicos compõem parte do conteúdo proposto pela lógica matemática. Para entender melhor os conceitos relacionados a tal conteúdo, é preciso que você estudante, saiba inicialmente o que é uma proposição, que por definição é uma sentença declarativa podendo ser: um termo, uma palavra ou até mesmo um símbolo; que adota um único valor lógico dentre os dois disponíveis que são verdadeiro ou falso.

Conectivo lógico: o que é uma proposição?

Para elucidar melhor o entendimento deste conceito, vamos a um exemplo:

Exemplo 1:

Avalie as seguintes afirmações: “O planeta Júpiter é maior que o planeta Terra” e “O planeta Terra é maior que a estrela Sol”. Pensando na definição do que vem a ser um valor lógico, avalie as afirmações e qualifique-as como sendo verdadeiro (V) ou falso(F).

Certo ou errado

Os conectivos lógicos precisam de duas ou mais preposições para terem sentido (Foto: depositphotos)

Solução: Inicialmente devemos nomear cada proposição com uma letra minúscula, você pode escolher a de sua preferencia.

Primeira proposição: “O planeta Júpiter é maior que o planeta Terra” = p
Segunda proposição: “O planeta Terra é maior que a estrela Sol” = q

Valor lógico das proposições:

VL(p) = V
VL (q) = F

Atribuímos o valor lógico de verdadeiro para (p) e de falso para (q), pois em relação ao sistema solar existem vários estudos científicos que comprovam o valor lógico adotado para estas proposições. Uma demonstração para evidenciar tal situação não será realizada, pois foge do escopo do assunto que este texto irá abordar.

Princípios das Proposições

É importante ressaltar que toda a lógica está estabelecida sobre alguns princípios, com as proposições não seria diferente e para elas três princípios podem ocorrer. Confira a lista a seguir:

  • Princípio da identidade: Uma proposição verdadeira é sempre verdadeira, já uma proposição falsa é sempre falsa.
  • Princípio da não Contradição: Nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
  • Princípio do terceiro excluído: Uma proposição será verdadeira ou falsa.

Veja também: Benefícios de estudar matemática

Não se esqueça de que todos estes princípios são validos somente para sentenças em que é possível atribuir Valor Lógico (VL).

Proposições simples ou compostas

Para saber realizar essa diferenciação confira a tabela a seguir:

Proposição SimplesProposição composta
Definição: São preposições que não possui outra que a acompanheDefinição possui duas ou mais proposição que estarão conectadas entre si, estabelecendo uma única sentença. Cada proposição pode ser chamada de componente.

Exemplo:

·         Júpiter é o maior planeta do sistema solar

Exemplo:

·         Plutão é frio e Mercúrio é quente.

·         Ou o planeta Terra abriga a vida humana, ou Marte será povoado.

·         Se a vida no planeta Terra acabar, então os animais estarão extintos.

·         O humano sobreviverá em outro planeta do sistema solar se e somente se houver água.

 

Todos os conectivos grifados são conectivos lógicos; mas o que é um conectivo e para que servem? Pode ser uma pergunta que está a envolver a sua mente nesse exato momento, e a resposta para isso é muito simples, pois conectivos nada mais são do que expressões utilizadas para unir duas ou mais proposições. Possuindo um papel muito importante na hora em que iremos avaliar o valor lógico de uma preposição composta, já que para fazer essa averiguação é necessário:

Primeiro: Verificar o valor lógico das proposições componentes.

Segundo: Verificar o tipo de conectivo que as une.

Símbolos

Falando em conectivos lógicos, quais são eles? Que símbolos utilizam? A seguir iremos tratar a respeito dos conectivos que podem unir as proposições compostas:

  • Conectivo “e”: O conectivo “e” é uma conjunção, sua representação simbólica é dada pelo símbolo: .
  • Conectivo “ou”: O conectivo “ou” é uma disjunção, sua representação simbólica é dado pelo símbolo: .
  • Conectivo “Ou… ou…”: O conectivo “Ou…ou…” é uma disjunção exclusiva, sua representação simbólica é dada por: .
  • Conectivo “Se… então…”: O conectivo “Se… então…” é uma condicional, sua representação é dado pelo símbolo: →.

Veja também: A origem dos algarismos e números

Tabela dos conectivos lógicos

Conectivo/ partículaSignificadoConectivos lógicos símbolos
Conectivo “e”Conjunção
Conectivo “ou”Disjunção
Conectivo “Ou… ou…”Disjunção exclusiva
Conectivo “Se… então…”Condicional
Conectivo “se e somente se”Bicondicional
Partícula “não”Negação~ ou ¬

Descrição dos significados e exemplos

Veja a seguir com utilizamos os conectivos e a partícula de negação em sentenças lógicas, acompanhe também os exemplos.

Conjunção

A conjunção é representada pelo conectivo (e), sendo encontrada em proposições compostas. A conjunção pode assumir o valor de verdade caso ambas as proposições componentes sejam verdadeiras. Agora, caso uma das proposições componentes seja falsa a conjunção será toda falsa. Nos casos em que ambas as proposições componentes são falsas a conjunção também é falsa. Verifique o exemplo a seguir para ter um melhor entendimento:

Exemplo 2: Identifique quais as situações em que a conjunção da proposição composta a seguir é verdadeira ou falsa: “O sol é quente e Plutão é frio”.

Resposta: Inicialmente para verificar se as proporções são verdadeiras ou falsas devemos nomeá-las com letra minúscula.

p = O sol é quente
q = Plutão é frio

O instrumento utilizado para a verificação do valor lógico da sentença é a tabela da verdade. Ao usarmos essa tabela é possível verificar se uma conjunção é verdadeira ou falsa. Em relação a este exemplo veja em quais casos a conjunção será verdadeira ou falsa:

SituaçõesProposição pProposição qO sol é quente e Plutão é frio
O sol é quente……plutão é frio.p q
Primeira situaçãoVVV
Segunda situaçãoFVF
Terceira situaçãoVFF
Quarta situaçãoFFF

Primeira situação: Se ambas as proposições p e q são verdadeiras a conjunção (p q) é verdadeira.
Segunda situação: A proposição p é falsa, com isso a conjunção (p q) é falsa.
Terceira situação: A proposição q é falsa, sendo assim a conjunção (p q) é falsa.
Quarta situação: As proposições p e q são falsas, então a conjunção (p q) é falsa.

Em resumo, a conjunção seria verdadeira somente se todas as proposições da sentença fossem verdadeiras.

Disjunção

A Disjunção é representada pelo conectivo (ou), mas o que é disjunção? Em relação à lógica, dizemos que a disjunção ocorre toda a vez que temos na sentença a presença do conectivo ou que separa as proposições componentes. Toda sentença lógica precisa passar por um processo de validação, podendo ser classificada como verdadeira ou falsa. Definir a disjunção é exatamente caracteriza-la como sendo verdadeira ou falsa, sendo que por definição uma disjunção sempre será verdadeira caso ao menos uma das proposições componentes da sentença seja verdadeira.  Para compreender isso, acompanhe o exemplo a seguir:

Exemplo 3: Verifique as possíveis situações em que a disjunção é verdadeira ou falsa: “O homem habitará Marte ou o homem habitará a Lua”.

Resposta: Iremos inicialmente nomear as proposições.

p = O homem habitará Marte
q = O homem habitará a Lua

Para verificar as situações em que a disjunção é verdadeira ou falsa, devemos construir a tabela da verdade.

SituaçãoProposição pProposição qO homem habitará Marte ou o homem habitará a Lua.
O homem habitará Marte……o homem habitará a Lua.∨ q
Primeira situaçãoVVV
Segunda situaçãoFVV
Terceira situaçãoVFV
Quarta situaçãoFFF

 Primeira situação: Se ambas as proposições p e q são verdadeiras a disjunção (p q) é verdadeira.
Segunda situação: A proposição p é falsa, mas a q é verdadeira. Por esse motivo, a disjunção (p q) é verdadeira.
Terceira situação: A proposição p é verdadeira, mas a q é falsa. Com isso, a disjunção (p q) é verdadeira.
Quarta situação: As proposições p e q são falsas. Então, a disjunção (p q) é falsa, pois para ser verdadeira no mínimo uma das proposições deve ser verdadeira.

Disjunção exclusiva

A disjunção exclusiva é caracterizada pela utilização repetida do conectivo (ou) ao longo da sentença. Para avaliar se as proposições componentes são verdadeiras, também utilizamos a tabela da verdade. No caso de proposições compostas em que a disjunção exclusiva está presente, temos que a sentença será verdadeira caso uma das componentes seja falsa, mas se todas as componentes forem verdadeiras ou todas forem falsas então a disjunção exclusiva é falsa. Ou seja, na disjunção exclusiva uma das situações colocadas pela componente deve ocorrer e a outra não. Veja o exemplo:

Exemplo 4: Verifique na frase a seguir em quais situações a disjunção exclusiva e verdadeira ou falsa: “Caso existam voos para fora do sistema solar, ou eu irei para Vênus ou eu irei para Netuno”.

Resposta: Iremos nomear as proposições compostas.

p = eu irei para Vênus
q = eu irei para Netuno

Para identificar as possibilidades em que a disjunção exclusiva é verdadeira ou falsa devemos montar a tabela da verdade.

SituaçãoProposição pProposição qou eu irei para Vênus ou eu irei para Netuno.
…eu irei para Vênus……eu irei para Netuno.pq
Primeira situaçãoVVF
Segunda situaçãoFVV
Terceira situaçãoVFV
Quarta situaçãoFFF

Primeira situação: A proposição p é verdadeira e a proposição q é verdadeira, então a disjunção condicional (pq) é falsa, pois as duas situações propostas pelas proposições componentes nunca aconteceram juntas.
Segunda situação: A proposição p é falsa e a proposição q é verdadeira, nessa situação a disjunção condicional (pq) é verdadeira, pois houve a ocorrência de apenas uma das proposições como sendo verdade.
Terceira situação: A proposição p é verdadeira e a q é falsa, então a disjunção condicional (pq) é verdadeira, pois somente uma das proposições é verdadeira.
Quarta situação: A proposição p é falsa e a q também é falsa, então a disjunção condicional (pq) é falsa, visto que para ser verdadeira apensa uma das proposições que compõem a sentença deve ser verdadeira.

Condicional

Uma sentença que é uma proposição composta e considerada condicional quando possui os conectivos (Se… então…). Para determinar se a condicional e verdadeira ou falsa devemos avaliar as proposições. Sendo que, uma proposição componente condicional sempre será falsa se a primeira proposição da sentença for verdadeira e a segunda for falsa. Em todos os demais casos, a condicional será considerada verdadeira. Veja o exemplo a seguir:

Exemplo 5: Mostre em quais situações a seguinte frase: “Se nasci no planeta Terra, então sou terráquea”; possui a sua condicional como sendo verdadeira ou falsa.

Resposta: Vamos nomear as proposições.

p = Nasci no planeta Terra
q = sou terráquea

Obs. Nas proposições do tipo condicional o conectivo se irá determinar a proposição que será a antecedente, enquanto o conectivo então determinará a proposição que será a consequente. Neste exemplo temos que p é denominado como antecedente sendo q denominado consequente.

Para mostrar todas as situações em que a sentença “Se nasci no planeta Terra, então sou terráquea”; possui a sua condicional verdadeira ou falsa devemos confeccionar a tabela da verdade.

SituaçãoProposição pProposição qSe nasci no planeta Terra, então sou terráquea
…Nasci no planeta Terra……sou terráquea. q
Primeira situaçãoVVV
Segunda situaçãoFVF
Terceira situaçãoVFV
Quarta situaçãoFFV

Primeira situação: Se p é verdade e q também é verdade então a condicional (pq) é verdadeira.
Segunda situação: Se p é falsa e q é verdadeira, então a condicional (pq) é verdadeira.
Terceira situação: Se p é verdadeira e q é falsa, então obrigatoriamente a condicional (pq) é falsa, pois um antecedente verdadeiro não pode determinar um consequente falso.
Quarta situação: Se p é falso e q é falso, então a condicional (pq) é verdadeira.

Bicondicional

Para que uma sentença simples seja considerada bicondicional ela deve possuir o conectivo “se e somente se” separando as duas condicionais. Para que a sentença seja considerada uma bicondicional verdadeira, sua proposição antecedente e consequente em relação ao conectivo “se e somente se” devem ser ambos verdadeiros, ou ambos serem falsos. Para averiguar melhor tal situação acompanhe o exemplo:

Exemplo 6: Exponha todas as possibilidades em que a bicondicional será verdadeira ou falsa na seguinte sentença “As estações do ano existem se somente se a Terra realizar o movimento de translação”.

Resposta: Vamos nomear as proposições que compõem a sentença.

p = As estações do ano existem
q = a Terra realiza o movimento de translação

Iremos agora expor as possibilidades de a bicondicional ser considerada verdadeira ou falsa por meio da tabela da verdade.

SituaçãoProposição pProposição qAs estações do ano existem se somente se a Terra realizar o movimento de translação
As estações do ano existem……a Terra realizar o movimento de translação.p ↔ q
Primeira situaçãoVVV
Segunda situaçãoFVF
Terceira situaçãoVFF
Quarta situaçãoFFV

Primeira situação: Se as proposições p e q são verdadeiras, então a bicondicional (p ↔ q) é verdadeira.
Segunda situação: Se a proposição p é falsa e a q é verdadeira, então a bicondicional (p ↔ q) é falsa.
Terceira situação: Se a proposição p é verdadeira e a proposição q é falsa, então a bicondicional (p ↔ q) é falsa.
Quarta situação: Se as proposições p e q são falsas, então a bicondicional (p ↔ q) é verdadeira.

Negação

Estaremos diante de uma negação se a sentença apresentar a partícula não na proposição simples. Ao representarmos a negação podemos adotar os símbolos til (~) ou cantoneira ). Para avaliar se uma proposição simples é verdadeira ou falsa, devemos reescrever a proposição. Caso a proposição já apresente a partícula não (~p), então devemos negar a proposição negativa, para isso terremos que excluir a partícula não obtendo somente uma proposição (p), mas caso a partícula não já esteja ausente da proposição (p), deveremos adicionar a partícula não na proposição (~p). Acompanhe o exemplo a seguir:

Exemplo 7: Mostre por meio da tabela da verdade as situações em que (p) e (~p) é verdadeiro ou falso para a seguinte proposição simples: “O planeta Terra é redondo”

p = O planeta Terra é redondo.
~p = O planeta Terra não é redondo

SituaçãoO planeta Terra é redondoO planeta Terra não é redondo
p~p
Primeira SituaçãoVF
Segunda SituaçãoFV

Primeira situação: Seja (p) verdadeiro, então (~p) é falso.
Segunda situação: Seja (p) falso, então (~p) é verdadeiro.

Obs. Nunca será possível que (p) e (~p) sejam simultaneamente verdadeiros ou falsos, isso porque um é a contradição do outro.

Referências

» LIMA, C. S. Fundamentos de Lógica e Algoritmos. Rio Grande no Norte: IFRN Campus Apodi, 2012.

» ÁVILA, G. Introdução à Análise Matemática. 2. ed. São Paulo: Blucher, 1999.

Sobre o autor

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Graduada em Matemática pela UFG e pós-graduanda em Educação Matemática.