Produtos notáveis

Você já ouviu falar em produtos notáveis? Sabe como usá-los e resolver problemas envolvendo esse assunto? Se as respostas para essas perguntas são negativas, então você está no lugar certo.

Nesse artigo, o Estudo Prático vai ensinar o que são os produtos notáveis e quais são os mais importantes tipos. Além disso, esse texto aborda diversos exemplos desse conteúdo para facilitar o entendimento e melhorar a fixação desse material. Confira!

Produtos notáveis: O que são?

Para saber o que são produtos notáveis e identifica-los, é necessário estar atento às multiplicações que possuem como fatores polinômios. Nem todo o produto de polinômios representa um produto notável, mas alguns polinômios aparecem com certa regularidade e a eles é atribuído o nome de produtos notáveis.

Menina e produtos notáveis

Os produtos notáveis considerados mais importantes são:

  • O quadrado da soma de dois termos
  • O quadrado da diferença de dois termos
  • O produto da soma pela diferença de dois termos
  • O cubo da soma de dois termos
  • O cubo da diferença de dois termos.

Acompanhe a representação algébrica dos produtos notáveis.

O quadrado da soma de dois termos

Para obtermos a expressão que representa o quadrado da soma de dois termos, basta representarmos de forma algébrica a frase que nomeia o produto notável.

O quadrado da soma de dois termos é representado por:

Vamos agora desenvolvê-lo algebricamente para determinarmos a sua igualdade. Observe que a base está elevada ao quadrado, então devemos repetir duas vezes a base em um produto, aplicando em seguida à propriedade distributiva.

xy e yx são o mesmo produto (propriedade comutativa). Devemos agora agrupar os termos semelhantes, ou seja, os que possuem mesma parte literal.

Para descrevermos os termos após o igual é preciso saber que: (x) é o primeiro termo e (y) é o segundo.

Exemplo 1

Use no polinômio a seguir a regra referente ao produto notável do quadrado da soma de dois termos.

Veja também: Raiz quadrada e raiz cúbica

O quadrado da diferença de dois termos

Vamos transcrever esse produto notável em linguagem algébrica:

O quadrado da diferença de dois termos é representado da seguinte forma:

Iremos agora determinar a sua igualdade. Inicialmente, devemos repetir duas vezes a base em um produto, logo em seguida utilizaremos a propriedade distributiva.

Agrupamos os termos semelhantes, ou seja, de mesma parte literal.

Exemplo 2

Aplique o quadrado da diferença de dois termos no seguinte polinômio:

O produto da soma pela diferença de dois termos

Colocando em termos algébricos temos que:

O produto da soma pela diferença de dois termos é representado por:

Vamos obter a sua igualdade, aplicando inicialmente a propriedade distributiva.

Observe que –xy e +yx possuem a mesma parte literal, ao agrupar esses termos o resultado será zero.

Exemplo 3

O cubo da soma de dois termos

Acompanhe a seguir como obtemos a notação algébrica desse produto notável.

O cubo da soma de dois termos é representado por:

Vamos agora obter a igualdade desse produto notável. Inicialmente, devemos decompô-lo aplicando a propriedade das potências de mesma base.

Observe que um dos fatores está elevado ao quadrado, sendo assim é possível aplicar o produto notável referente ao quadrado da soma de dois termos.

No próximo passo, realizaremos a multiplicação de polinômios aplicando a propriedade distributiva.

Agrupe os termos semelhantes para obter o polinômio reduzido.

Exemplo 4

Desenvolva o produto notável a seguir:

Veja também: Teorema de Pitágoras

O cubo da diferença de dois termos

O cubo da diferença de dois termos possui a representação algébrica mostrada a seguir:

A representação do cubo da diferença de dois termos é dada por:

Acompanhe a demonstração de como obtemos a igualdade desse produto notável.

Exemplo 5

Desenvolva a expressão a seguir utilizando o cubo da diferença de dois termos.

Exercícios

Para compreender melhor esse conteúdo desafie-se a fazer os exercícios a seguir. Escreva os polinômios correspondentes utilizando as regras dos produtos notáveis.

Caro leitor espero que você tenha compreendido esse conteúdo, nos encontramos em um próximo texto. Bons estudos!

Referências

GIOVANNI, J. R; CASTRUCCI, B; JÚNIOR, J. R. G. A conquista da matemática 8° ano – São Paulo: FTD, 2012.

Sobre o autor

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Graduada em Matemática pela UFG e pós-graduanda em Educação Matemática.